第八章不定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1不定积分概念与基本积分公式2 换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数不定积分第八章 不定积分第1页1不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式第八章 不定积分第2页在第三章我们研究了已知 f，怎样求 f 导数 f 表示式，得到了一些计算法则，比如：(f+g)=f+g,(f g)=f g+f g,(f)=f 这些计算方法加上基本初等函数导数公式，我们能够处理初等函数求导问题，即是，若 f 为初等函数，f 表示式能求出.第3页我们现在来研究第三章求导问题逆问题。问题：在已知 f 表示式时，f 表示式是什么形式呢？即是，已知函数 f 表示式，求 f 原函数是什么。第4页.基本积分表 换元积分法 分部积分法 有理函数积分本章主要内容本章主要内容：第5页 比如，在区间(,)内，因为(sin x)cos x，所以 sin x是 cos x一个原函数。提问：提问：cos x还有其它原函数吗？提醒：提醒：cos x原函数还有sin xC。定义1 假如在区间 I 上，可导函数 F(x)导数为 f(x)，即对任一 xI，都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx，则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上原函数。原函数概念第6页两点说明：两点说明：2、f(x)任意两个原函数之间只差一个常数，即如果(x)和 F(x)都是 f(x)原函数，则(x)F(x)C(C为某个常数)。1、假如F(x)是 f(x)原函数，那么F(x)C 都是 f(x)原函数，其中 C 是任意常数。定义1 假如在区间 I 上，可导函数 F(x)导数为 f(x)，即对任一 xI，都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx，则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上原函数。原函数概念第7页注注2.符号差异：与不定积分概念不定积分概念不定积分概念不定积分概念1.定义：定义：设I为某区间，称f(x)在I上原函数全体为f(x)在I上不定积分，记作积分号被积函数积分变量注注1.(3)式中积分号下f(x)dx,可看作是原函数微分。数一族函数(3)第8页定理定理1.设F(x)是f(x)在区间I上一个原函数，则(4)其中C为任意常数0 x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4第9页 例例1 例例2 例例3 解：解：第10页-1O 1x y y=x2 函数f(x)原函数图形称为f(x)积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)积分曲线也有没有限多条。函数f(x)不定积分表示f(x)一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线斜率。三、不定积分几何意义三、不定积分几何意义第11页 例例4求过点(1,3)，且其切线斜率为2x曲线方程。解解：设所求曲线方程为 yf(x)，则 y f(x)2x，即f(x)是2x 一个原函数。因为所求曲线经过点(1,3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。2 1O12x2112 yyx2+2yx2(1,3)所以y=f(x)x2C。第12页例例5：解：解：轻易看到两边除以3，得求导数性质yy=x2xyx所以,第13页2.不定积分性质：不定积分性质：1)2)3)4)第14页3.基本积分公式基本积分公式积分公式积分公式导数公式导数公式1231)2)3)第15页5)6)7)56744)第16页10)11)10119)98)8第17页4.积分公式简单应用积分公式简单应用例例1.求解解:第18页例例2.求解解:第19页例例3.求解解:第20页例例4.求f(x)=x2+1,x0时，练习：练习：3(8,9,10)例例16第58页例例18例例19例例20第59页练习：练习：3(24,28,30)例例21例例22第60页三三 第二类换元法第二类换元法第一类换元法是经过变量替换第一类换元法是经过变量替换 将积分将积分下面介绍第二类换元法是经过变量替换下面介绍第二类换元法是经过变量替换 将积分将积分第61页证证设设 为为 原函数原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第62页第二类积分换元法第二类积分换元法第63页例例1313 求求解解1 1 三角代换三角代换第64页例例1414 求求解解 令令第65页例例1515 求求解解 令令注注三角代换目标是化掉根式三角代换目标是化掉根式.第66页例例1616 求求解解令令2 2 根式代换根式代换考虑到被积函数中根号是困难所在，故考虑到被积函数中根号是困难所在，故第67页当被积函数含有两种或两种以上根当被积函数含有两种或两种以上根式式 时，可采取令时，可采取令 （其（其中中 为各根指数最小公倍数）为各根指数最小公倍数）例例1717 求求解解令令第68页3 3 其它形式代换其它形式代换注注1 积分中为了化掉根式除采取上述代换外还积分中为了化掉根式除采取上述代换外还可用双曲代换可用双曲代换.也能够化掉根式也能够化掉根式 中中,令令第69页注注2 2 倒数代换倒数代换 也是惯用代换之一也是惯用代换之一 例例1818 求求令令解解第70页例例1919 求求解解令令分母次幂太高分母次幂太高第71页第72页基基本本积积分分表表续续第73页第74页考虑积分考虑积分处理思绪处理思绪利用两个函数乘积求导法则利用两个函数乘积求导法则.分部积分公式分部积分公式四四 分部积分法分部积分法第75页分部积分公式分部积分公式 下面利用两个函数乘积求导法则，得下面利用两个函数乘积求导法则，得出求积分基本方法出求积分基本方法分部积分法分部积分法.对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即第76页分部积分公式：关键：恰当选取u和确定v.怎样选取u:(LIATE法)L-对数函数I-反三角函数A-代数函数T-三角函数E-指数函数依据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部积分公式，若选f(x)=u,则vg(x)注：而v=g(x).第77页例例1 1 求积分求积分解解令令假如令假如令显然，显然，选择不妥，积分更难进行选择不妥，积分更难进行.第78页 普通地，若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数乘积乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂假定幂指数是正整数指数是正整数)第79页例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数乘积若被积函数是幂函数和指数函数乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)第80页例例3 3 求积分求积分解解第81页例例4 4 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和对数函数乘积，若被积函数是幂函数和对数函数乘积，就考虑设对数函数为就考虑设对数函数为 .第82页例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数乘积，若被积函数是幂函数和反三角函数乘积，就考虑设反三角函数为就考虑设反三角函数为u.第83页例例6 6 求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛应用。复原法在求不定积分时有着广泛应用。第84页例例7 7 求积分求积分解解第85页例例8 8 求积分求积分解解用分部积分法，当用分部积分法，当第86页在在 积分过程中往往要兼用换元法与分部积分法。积分过程中往往要兼用换元法与分部积分法。例例9 9 求积分求积分解解第87页解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得第88页例题与练习 练习1.求以下不定积分解：第89页惯用解题技巧()屡次使用分部积分法则解：练习2.求不定积分例2.第90页惯用解题技巧()还原法例3.解：练习3：第91页 与换元法相结合练习4.求不定积分解：惯用解题技巧第92页练习：5(2,4,6)例例9 9例例1010例例11 11第93页 解：解：因为练习：练习：例例1212第94页 解：解：因为 例例1313第95页练习练习:用什么积分法求以下积分？用什么积分法求以下积分？第96页五五 小结小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有以下规律三角代换常有以下规律可令可令可令可令可令可令第97页合理选择合理选择 ，正确使用分部积分式，正确使用分部积分式注意复原分部积分注意复原分部积分 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数乘积数乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂一使其降幂一次次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)普通地，（普通地，（1）（2）若被积函数是幂函数和指数函数乘积若被积函数是幂函数和指数函数乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)(4)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为二者皆可作为u,但作为但作为u函数类型不变。函数类型不变。(3)若被积函数是幂函数和对数函数乘积，若被积函数是幂函数和对数函数乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为就考虑设对数函数或反三角函数为 u .第98页六六 思索与判断题思索与判断题12第99页函数函数使用分部积分公式关键点是确定使用分部积分公式关键点是确定34中中作业：P189 2(1)(10),3(1)(4).5 依据LIATE法，恰当选取u和确定v.第100页第八章 不定积分3有理函数和可化为有理函数不定积分有理函数和可化为有理函数不定积分第101页一一 问题提出问题提出怎么计算？怎么计算？关键是被积函数裂项关键是被积函数裂项？（2 2）很显然不能用很显然不能用凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎么办？怎么办？（3 3）去掉根号才能计算，怎样去掉去掉根号才能计算，怎样去掉根号根号？第102页两个多项式商表示函数两个多项式商表示函数.二二 有理函数积分有理函数积分(Integration of Rational Function)有理函数定义：有理函数定义：第103页假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1 1）利用多项式除法）利用多项式除法,假分式能够化成一个假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.比如，我们可将比如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和第104页2）在实数范围内真分式总能够分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总能够分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式分式最简分式是下面两种形式分式第105页（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和普通规律：）有理函数化为部分分式之和普通规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为第106页（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中则分解后为则分解后为特殊地特殊地：分解后为分解后为第107页便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面待定常数确定，这种方法叫待定系数时要把上面待定常数确定，这种方法叫待定系数法法例例1 1第108页例例2 2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得：第109页例例1 1第110页代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第111页例例3 3整理得整理得第112页例例4 4 求积分求积分 解解第113页例例5 5 求积分求积分 解解第114页例例6 6 求积分求积分解解令令第115页第116页说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令第117页则则记记第118页这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数原函数都是初等函数有理函数原函数都是初等函数.第119页我们也能够用代值确定法来得到最简分式，我们也能够用代值确定法来得到最简分式，比如前面例比如前面例2 2，两端去分母后得到，两端去分母后得到第120页例例3 3整理得整理得第121页例例4 4 求积分求积分 解解由前面裂项由前面裂项第122页例例5 5 求积分求积分 解解由前面裂项得由前面裂项得第123页三角有理式定义：三角有理式定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为组成函数称之普通记为二、三角函数有理式积分第124页令令（万能置换公式）（万能置换公式）第125页例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第126页第127页例例6 6 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第128页例例7 7 求积分求积分解解一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。由此能够看出，万能代换法不是最简方法，由此能够看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽可能不用。能不用尽可能不用。第129页例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）第130页解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令第131页解（三）解（三）能够不用万能置换公式能够不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最正确方法定是最正确方法,故三角有理式计算中故三角有理式计算中先考虑其它伎俩先考虑其它伎俩,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.第132页例例9 9 求积分求积分解解第133页第134页讨论类型讨论类型处理方法处理方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数积分第135页第136页例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数取根指数最小公倍数最小公倍数.第137页例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式第138页例例9 9 求积分求积分解解 令令第139页说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数最小公倍数取根指数最小公倍数.例例1010 求积分求积分解解 令令第140页简单无理式积分去掉根式简单无理式积分去掉根式.（注意：关键为了去掉根号）（注意：关键为了去掉根号）有理式分解成部分分式之和积分有理式分解成部分分式之和积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式积分三角有理式积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结五、作业P198:1(1)(6),2(1)(6).第141页六六 思索、判断题思索、判断题1 利用无理根式代换计算利用无理根式代换计算2 被积函数裂项能够直接判断，无须利用待定系数法被积函数裂项能够直接判断，无须利用待定系数法比如比如 第142页思索题思索题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？第143页思索题解答思索题解答分解后部分分式必须是最简分式分解后部分分式必须是最简分式.第144页练习题练习题第145页第146页第147页练习题答案练习题答案第148页第149页第150页第151页