原函数与不定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

14 原函数与不定积分第1页2定理一 假如函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分 与连接起点及终点路线C无关.z1z2BC1C2z1z2C1C2B第2页3由定理一可知,解析函数在单连通域内积分只与起点z0和终点z1相关,如图所表示,我们有z1z2BC1C2z1z2C1C2B第3页4固定z0,让z1在B内变动,令z1=z,则积分在B内确定了一个单值函数对这个函数我们有定理二 假如f(z)在单连通域B内处处解析,则函数F(z)必为B内一个解析函数,而且F(z)=f(z).第4页5证 从导数定义出发来证.设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内小圆K,取|Dz|充分小使z+Dz在K内.于是由(3.4.1)得z+DzzKzz0第5页6第6页7则任给e0,存在d0,当|z-z|d即|Dz|d时,总有|f(z)-f(z)|0,存在d(e)0,当|z-z0|d时,|f(z)-f(z0)|e.设以z0为中心,R为半径圆周K:|z-z0|=R全部在C内部,且Rd.DCKzz0R第19页20第20页21这表明不等式右端积分模能够任意小,只要R足够小就行了,依据闭路变形原理,该积分值与R无关,所以只有在对全部R积分为值为零才有可能,所以,由(3.5.2)即得要证(3.5.1)式.第21页22(3.5.1)式称为积西积分公式.假如C是圆周z=z0+Reiq,则(3.5.1)式成为即,一个解析函数在圆心处值等于它在圆周上平均值.第22页23例 求以下积分(沿圆周方向)值:解 由(3.5.1)得第23页246 解析函数高阶导数一个解析函数不但有一阶导数,而且有各高阶导数,它值也可用函数在边界上值经过积分来表示.这一点和实变函数完全不一样.一个实变函数在某一区间上可导,它导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.第24页25定理 解析函数f(z)导数仍为解析函数,它n阶导数为:其中C为在函数f(z)解析区域D内围绕z0任何一条正向简单曲线,而且它内部全含于D.第25页26证 设z0为D内任意一点,先证n=1情形,即所以就是要证第26页27按柯西积分公式有第27页28所以第28页29现要证当Dz0时I0,而Dz0dC第29页30f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为z0到C上各点最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.第34页35OC1C2Ci-ixy第35页36依据复合闭路定理,OC1C2Ci-ixy第36页37由(3.6.1)有第37页38作业 第三章习题 第99页第7题第1),2),3),4)第8题第1),2),3),4)第38页