1、calculus3.1 导数概念导数概念3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则3.3 微分微分3.4 高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分第三章第三章 导数与微分导数与微分3.5 边际与弹性边际与弹性本章计划课时本章计划课时:14课时课时1微积分 第三章导数与微分第1页calculus3.1 导数概念导数概念引例引例1、变速直线运动瞬时速度、变速直线运动瞬时速度一、引例一、引例2微积分 第三章导数与微分第2页calculus（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时3微积分 第三章导数与微分第3页calculus引例引例2 平面曲线切线斜率平面曲线切线斜率 在点求曲
2、线L：处切线斜率。割线 MN 斜率为：4微积分 第三章导数与微分第4页calculus割线 MN 极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处切线。切线 MT 斜率为：当时,5微积分 第三章导数与微分第5页calculus二、导数定义二、导数定义6微积分 第三章导数与微分第6页calculus7微积分 第三章导数与微分第7页calculus8微积分 第三章导数与微分第8页calculus9微积分 第三章导数与微分第9页calculus10微积分 第三章导数与微分第10页calculus11微积分 第三章导数与微分第11页calculus三、导数几何意义三、导数几何意义12微积分 第三章导数与微分
3、第12页calculus四、单边（侧）导数四、单边（侧）导数13微积分 第三章导数与微分第13页calculus14微积分 第三章导数与微分第14页calculus一样单边导数定义式也可简化为：15微积分 第三章导数与微分第15页calculus例.求函数在在处导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.思索思索16微积分 第三章导数与微分第16页calculus五、可导性与连续性关系五、可导性与连续性关系若函数若函数在在处可导处可导,则必连续则必连续.实际上实际上,因因在在处可导处可导,即即定理定理2.1所以所以,函数函数在在处连续处连续.17微积分 第三章导数与微分第17页calcu
4、lus例例.求函数求函数在在处导数处导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.0问题：连续是否一定可导？问题：连续是否一定可导？18微积分 第三章导数与微分第18页calculus19微积分 第三章导数与微分第19页calculus1-120微积分 第三章导数与微分第20页calculus函数在其可导点处一定连续函数在其可导点处一定连续函数在其不连续点处一定不可导函数在其不连续点处一定不可导函数在其连续点处不一定可导函数在其连续点处不一定可导结论结论21微积分 第三章导数与微分第21页calculus六、用定义求导数举例六、用定义求导数举例一样单边导数定义式也可简化为：22微积分 第三
5、章导数与微分第22页calculus例例1.求函数求函数(常数常数)导数导数.解解常数导数等于零常数导数等于零例例2.求函数求函数导数导数.解解23微积分 第三章导数与微分第23页calculus例例3.求指数函数求指数函数导数导数.解解24微积分 第三章导数与微分第24页calculus例例4.设设求求解解尤其地尤其地,25微积分 第三章导数与微分第25页calculus例例5.设设求求解解正弦函数导数等于余弦函数正弦函数导数等于余弦函数.类似得类似得,余弦函数导数等于负正弦函数余弦函数导数等于负正弦函数.26微积分 第三章导数与微分第26页calculus注：分段函数分段点导数必须用定义求
6、注：分段函数分段点导数必须用定义求例例6.设函数设函数解解因为27微积分 第三章导数与微分第27页calculus例例7.解解28微积分 第三章导数与微分第28页calculus方法一：方法一：例例8.解解29微积分 第三章导数与微分第29页calculus30微积分 第三章导数与微分第30页calculus方法二：方法二：31微积分 第三章导数与微分第31页calculus32微积分 第三章导数与微分第32页calculus解解例例9.33微积分 第三章导数与微分第33页calculus由导数几何意义知,所求切线斜率为:所求切线方程为:即所求法线方程为:即解解例例11.34微积分 第三章导数
7、与微分第34页calculus3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则35微积分 第三章导数与微分第35页calculus证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)36微积分 第三章导数与微分第36页calculus37微积分 第三章导数与微分第37页calculus证毕证毕.38微积分 第三章导数与微分第38页calculus例例1.解解39微积分 第三章导数与微分第39页calculus解解:例例2.40微积分 第三章导数与微分第40页calculus求解解例例3.41微积分 第三章导数与微分第41页calculus例例4.解
8、解42微积分 第三章导数与微分第42页calculus解解例例5.43微积分 第三章导数与微分第43页calculus惯用公式：惯用公式：44微积分 第三章导数与微分第44页calculus二、反函数求导法则二、反函数求导法则45微积分 第三章导数与微分第45页calculus46微积分 第三章导数与微分第46页calculus解解例例5.47微积分 第三章导数与微分第47页calculus解解例例6.48微积分 第三章导数与微分第48页calculus三、基本导数公式三、基本导数公式49微积分 第三章导数与微分第49页calculus50微积分 第三章导数与微分第50页calculus51微
9、积分 第三章导数与微分第51页calculusGuess四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则52微积分 第三章导数与微分第52页calculus53微积分 第三章导数与微分第53页calculus54微积分 第三章导数与微分第54页calculus法则法则5(连锁法则连锁法则)Outfunctioninnerfunction55微积分 第三章导数与微分第55页calculus证证在点在点可导，可导，由由知由极限与无穷小关系知由极限与无穷小关系知于是于是56微积分 第三章导数与微分第56页calculus即即57微积分 第三章导数与微分第57页calculus解解.例例1 求以下函数导数58
10、微积分 第三章导数与微分第58页calculus更更简简明明过过程程59微积分 第三章导数与微分第59页calculus解解例例2.更简明更简明过程过程60微积分 第三章导数与微分第60页calculus解解例例3.61微积分 第三章导数与微分第61页calculus例例4.解解62微积分 第三章导数与微分第62页calculus复合函数求导法则能够推广到多重复合情形复合函数求导法则能够推广到多重复合情形.设设则则或或63微积分 第三章导数与微分第63页calculus例例.求解解64微积分 第三章导数与微分第64页calculus更简明更简明过程过程65微积分 第三章导数与微分第65页cal
11、culus例例求解解66微积分 第三章导数与微分第66页calculus例例求解解67微积分 第三章导数与微分第67页calculus例例8 8解解68微积分 第三章导数与微分第68页calculus形如，形如，函数称为函数称为显函数显函数.若若与与函数关系由方程函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.五、隐函数求导法五、隐函数求导法69微积分 第三章导数与微分第69页calculus解解例例9 70微积分 第三章导数与微分第70页calculus解解例例1071微积分 第三章导数与微分第71页calculus解解例例1172微积分 第三章导数与微分第72页calcu
12、lus六、对数求导法六、对数求导法两类函数2.有简便求有简便求73微积分 第三章导数与微分第73页calculus对 x 求导两边取对数例例1274微积分 第三章导数与微分第74页calculus75微积分 第三章导数与微分第75页calculus例例13 求导数.解解 两边取对数,化为隐函数两边对 x 求导76微积分 第三章导数与微分第76页calculus解法解法2 将函数化为复合函数77微积分 第三章导数与微分第77页calculus例例12解解 两边取对数 对 x 求导78微积分 第三章导数与微分第78页calculus79微积分 第三章导数与微分第79页calculus引例引例.一块
13、正方形金属薄片受温度影响一块正方形金属薄片受温度影响,其边长由其边长由变到变到问此薄片问此薄片面积改变了多少面积改变了多少?面积改变量：面积改变量：一、微分引进一、微分引进3.3 微分微分80微积分 第三章导数与微分第80页calculus81微积分 第三章导数与微分第81页calculus二、微分定义二、微分定义82微积分 第三章导数与微分第82页calculus证证(必要性必要性)83微积分 第三章导数与微分第83页calculus(充分性充分性)设函数设函数在点在点处处可导可导,即即与与无关无关,是较是较高阶无穷小高阶无穷小.所以函数所以函数在点在点处处可微可微.且且84微积分 第三章导
14、数与微分第84页calculus说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当85微积分 第三章导数与微分第85页calculus86微积分 第三章导数与微分第86页calculus87微积分 第三章导数与微分第87页calculus注意：注意：88微积分 第三章导数与微分第88页calculus三、基本微分公式与微分法则三、基本微分公式与微分法则依据依据可得基本初等函数微分公式：可得基本初等函数微分公式：89微积分 第三章导数与微分第89页calculus微分法则微分法则：设设都可微，都可微，则则90微积分 第三章导数与微分第90页calculus微分法则微分法则：设设都可微，
15、都可微，则则91微积分 第三章导数与微分第91页calculus复合函数微分法则：复合函数微分法则：设设而而所以所以即微分形式不变性即微分形式不变性92微积分 第三章导数与微分第92页calculus93微积分 第三章导数与微分第93页calculus94微积分 第三章导数与微分第94页calculus95微积分 第三章导数与微分第95页calculus96微积分 第三章导数与微分第96页calculus四、微分在近似计算中应用四、微分在近似计算中应用由微分定义知由微分定义知,当当时时,所以所以,当当很小时很小时,有有近似公式近似公式:(1)即即(2)(3)97微积分 第三章导数与微分第97页
16、calculusLinear Approximations and Differentials98微积分 第三章导数与微分第98页calculus解解:设取则近似值.例例求99微积分 第三章导数与微分第99页calculus100微积分 第三章导数与微分第100页calculus即在生产100单位产品基础上再多生产一单位产品，成本会增加2.96101微积分 第三章导数与微分第101页calculus可证可证,当当很小时很小时,有近似公式有近似公式:当当很小时很小时,(4)102微积分 第三章导数与微分第102页calculus103微积分 第三章导数与微分第103页calculus解解:近似值
17、.例例.计算104微积分 第三章导数与微分第104页calculus速度即加速度即引例引例：变速直线运动3.4 高阶导数高阶导数105微积分 第三章导数与微分第105页calculus记作：或即二阶导数导数，叫做三阶导数，记作：或106微积分 第三章导数与微分第106页calculus三阶导数导数，叫做三阶导数导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：记作：或或阶导数导数，叫做阶导数导数，叫做阶导数阶导数，记作：记作：或或函数函数有有阶导数，阶导数，也说函数也说函数为为阶可导阶可导。二阶及二阶以上导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上导数统称为高阶导数。107微积分 第三章导数与微分第107页calcul
18、us108微积分 第三章导数与微分第108页calculus109微积分 第三章导数与微分第109页calculus110微积分 第三章导数与微分第110页calculus111微积分 第三章导数与微分第111页calculus112微积分 第三章导数与微分第112页calculus113微积分 第三章导数与微分第113页calculus114微积分 第三章导数与微分第114页calculus115微积分 第三章导数与微分第115页calculus由上面各阶导数能够得到116微积分 第三章导数与微分第116页calculus二、高阶导数运算法则二、高阶导数运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数
19、)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数117微积分 第三章导数与微分第117页calculus例例.求解解:设则代入莱布尼兹公式,得118微积分 第三章导数与微分第118页calculus119微积分 第三章导数与微分第119页calculus以上这个公式称为莱布尼兹（Leibniz）公式，可用于求乘积高阶导数120微积分 第三章导数与微分第120页calculus121微积分 第三章导数与微分第121页calculus122微积分 第三章导数与微分第122页calculus123微积分 第三章导数与微分第123页calculus124微积分 第三章导数与微分第124页calcu
20、lus125微积分 第三章导数与微分第125页calculus3.5 边际与弹性边际与弹性一、边际概念一、边际概念126微积分 第三章导数与微分第126页calculus127微积分 第三章导数与微分第127页calculus128微积分 第三章导数与微分第128页calculus129微积分 第三章导数与微分第129页calculus130微积分 第三章导数与微分第130页calculus131微积分 第三章导数与微分第131页calculus132微积分 第三章导数与微分第132页calculus二、弹性函数二、弹性函数1、弹性概念、弹性概念弹性意义：弹性意义：133微积分 第三章导数与微
21、分第133页calculus134微积分 第三章导数与微分第134页calculus幂函数在任意点弹性不变称为不变弹性函数幂函数在任意点弹性不变称为不变弹性函数135微积分 第三章导数与微分第135页calculus2、弹性经济应用、弹性经济应用(1)需求价格弹性需求价格弹性注意注意136微积分 第三章导数与微分第136页calculus137微积分 第三章导数与微分第137页calculus138微积分 第三章导数与微分第138页calculus(2)供给价格弹性供给价格弹性139微积分 第三章导数与微分第139页calculus(3)收益价格弹性收益价格弹性140微积分 第三章导数与微分第140页calculus141微积分 第三章导数与微分第141页calculus142微积分 第三章导数与微分第142页
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