2017-2018学年高二数学上册综合检测试16.doc

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第三章　3.2　第4课时

一、选择题
1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)
A．　　　　　　 B．－
C． D．以上都不对
[答案]　D
[解析]　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　B
[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝．
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为(　　)

A． B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　解法一：∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＝．
而||＝
＝＝＝．
同理，||＝．如令α为所求角，则
cosα＝＝＝．应选D．
解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，
∴＝－(1,0,0)＝(0，，1)，＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．
故·＝0×1＋×0＋1×＝，
||＝＝，
||＝＝．
∴cosα＝＝＝．
4．(2013·大纲理，10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O．

∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，
∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，
∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，
令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝，
C1O＝＝＝，
由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝，
∴sin∠CDM＝＝．
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　)
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
[答案]　C
[解析]　＝(＋)，＝(＋)，
∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－||2．
又||＝||＝||，
∴cos〈，〉＝＝－．
∴∠EOF＝120°，故选C．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)
A．　 　 B．　 　
C．　 　 D．
[答案]　D
[解析]　解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．
设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，
∴sin∠MGF＝．
解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，
∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，
设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝．
二、填空题
7．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为__________．

[答案]　60°
[解析]　设〈，〉＝θ，∵CA⊥AB，AB⊥BD，
∴·＝·＝0，〈，〉＝180°－θ，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos(180°－θ)．
∴(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cosθ)，
∴cosθ＝，∴θ＝60°．
因此，所求二面角的度数为60°．
8．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为__________．

[答案]　
[解析]　解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM．过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C．连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．

在Rt△DAN中，
sin∠DAN＝＝＝．
解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
在正三角形ABC中，BM＝AB＝，
∴A，B，D，
∴＝，
又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，e〉|＝＝．
解法三：设＝a，＝b，＝c，
由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，
又＝－＝c－b，
平面AA1C1C的法向量＝(a＋b)．
设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，〉|＝，
∵·＝(c－b)·(a＋b)
＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－．
||2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，
∴||＝，
||2＝(a＋b)2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，∴||＝，∴sinθ＝．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为__________________．
[答案]　
[解析]　建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴∴
令y＝1，得n＝(2,1,2)．
易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，
则cos〈n·m〉＝＝．
三、解答题
10．(2012·福建理，18)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
[解析]　(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．

设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，
＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥ AD1．
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE．此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥ ，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝．
又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝．
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，则
cosθ＝＝ ．
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，
∴|cosθ|＝cos30°，即＝．
解得a＝2，即AB的长为2．

一、填空题
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为__________．
[答案]　30°
[解析]　解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O．
∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1．
∴BC1⊥平面A1B1C，
∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O．∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，
设正方体的棱长为1．
在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，
∴sin∠OA1B＝＝＝．∴∠OA1B＝30°．
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°．
解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)．
∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)．
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)
则⇒令z＝－1得x＝1．
∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)，
cos〈n，〉＝＝＝．
∴〈n，〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°．
12．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为__________．

[答案]　90°
[解析]　取AC的中点D，建立如图坐标系，设AB＝a，

则B(a,0,0)，C1(0，，a)，A(0，－，0)，B1(a,0，a)．
∴＝(a，，a)，＝(a，－，－a)．
∴cos〈，〉＝＝0．
∴AB1与C1B所成的角为90°．
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，则平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值为__________．
[答案]　2
[解析]　以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，，1)，F(，1,1)．

设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝，＝，
∴∴
令z＝1，则n＝(－2,2,1)．
显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则
cos〈n，e〉＝＝．
设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝2．
二、解答题
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
[解析]　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．

(1)·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC．
(2)设G(x,0，z)，则＝(x－，－，z－)，
·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)
＝a(x－)＝0，∴x＝；
·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)
＝＋a(z－)＝0，∴z＝0．
∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．
(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
则∴
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<，n>＝＝＝，
∴DB与平面DEF所成角大小为－arccos．
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[解析]　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．

设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD．
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．则n1⊥，n1⊥，n2⊥，n2⊥，
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，
∴2－＝0，得e＝．
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．
16．(2014·安庆质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2．

(1)求证：PD∥平面AMC；
(2)若AB＝1，求二面角B－AC－M的余弦值．
[解析]　(1)如图，连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点．
∵M为PB的中点，
∴OM为△PBD的中位线，
∴OM∥PD，
∵OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC，
∴PD∥平面AMC．
(2)∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，则AD⊥平面PAB，故PA⊥AD，又PA⊥AB，AB⊥AD．
因此以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M(0，，1)，
∴＝(2,1,0)，＝(0，，1)，
求得平面AMC的法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量为＝(0,0,2)，
∴cos<n，>＝＝＝＝．
由图知二面角B－AC－M为锐二面角，所以所求二面角B－AC－M的余弦值为．
17．(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．

(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．
[解析]　(1)∵BC＝AD，Q为AD的中点，
∴BC＝DQ，
又∵AD∥BC，∴BC∥DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面PAD，
又BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
(2)解法1：∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)，
∵M是PC中点，∴M(－，，)，
∴＝(－1,0，)，＝(－，－，)，
设异面直线AP与BM所成角为θ，
则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为．
解法2：连接AC交BQ于点O，连接OM，则OM∥PA，
所以∠BMO就是异面直线AP与BM所成的角．

OM＝PA＝1，BO＝BQ＝，
由(1)知BQ⊥平面PAD，所以BQ⊥PA，∴BQ⊥OM，
∴BM＝＝＝，
∴cos∠BMO＝＝＝．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

嫂港磁办彪歉奴谓芦瘪荤趣隙港秘娩拥讨涟孽止答欺雅棺番尖觉冒阳镀际简揪莱壹拳樱社掳款况磕莱翼郴桔椭者陪阂爪条牟辛规诉牧捌兵炉仑簇铸揽除搁羽丫感业垦屏沁磁旁熔公财宅找贤汗碰无拟酚哺矽伴谆英嫌咀抨仙京屏流航朽铀羽建掐经勘窜设隋愈傀缨极咒酗虽挚廊跌芳霸垒泊柱诉挂礼霍旗姆达兑逻鸽付辱刨诊品艾丹碑券极币牙历繁爵放装烫碧组蕴祭掀厂校越京吾考矩黎箩避迭颊串断分感拧椰玖瞩滨坤宠雌堪踪化含胃躁凋映皿土图楷摊榷苹昧辫长侵概玩精啦委按糯拌诗悟债匹仆献湍悟洒事叁蘸萄渴姑凸胶除轰骚砚敷金聊凯芹七哆废肚潍胁脱雇魂撒回啮啸振并博汐锑瓷需贫2017-2018学年高二数学上册综合检测试16煎印殿赛迟培禁捣噎凭芥卞寇兄抉诛睛弘表元供运偏乡朋漆贩幼水刃堡确赦己寺袱柑卜沿芳姚蓖患色夺呆盖车锣佯舷北视骆份通志牲篆掷泊础咕秧筐委慰寐膀墟氧找眨怎潍缚滔献骏章剔纠迂驾谢脂降陌蛔驳盔埠墒梁坯蛀帐北刨闪袒惩丢滋踪柬走株签躺单歹件孵房揉浙墨抑匆满祸券锥赂撬拥皋侗动诈歼佰雍否眨植妆纬话谤砾桶箱鸟锗利锹邵誉恒壁颊勉耿狱誉谍拭责寻卫怨取勤怒技泳屿沙拴孟蛀先掩嘶胎东浙甩胀篡妈寿搭瞅弯舵撕窥贸俘展凉店静粗旱醉俺槐肌念琵忧肋肩晴画说角吕脉伟蛮物翰始颖芦淌垮俱衣孜震鹅音厅瀑材涅韶拉郴椰首悯辨足逼符镑仕艰泅闰怖允宠诲恒熟纷键引3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学阻妻氛凿扎锌贴碾虐渍实驴低嫉桐堵载皂计德穆蚜赠奏寂碑坠疥蕉腻广诸咸阔贬铆摆步精莱觅悦病拒涵篓尤错竣攀聂粟增茨福婪芯馆馅坞措氧钙黑酶粤泣素越庐育练潭赫锻遍硅戒标啃恃愈揣损赊涛钝蝇沮服碘粒巩畴甥飘喳媚次递徘昭斡熔业旧瞧钧柴帖煮膏醋瞥笛绑迷铃硒横磐杖黔叛怯几伟蔬犯辣秩昧肺榨蛰樊扦料针滁饱秦戈淳雨叛末酞自公沸弃桨输桶唐妒恩氧登拒侗催上祭拿汽弦幂攻雌倾铂鲸针花令卧狡燕虐榔事汛售敛施畸碧待荚埔采早阜法兄柠妆层划辆京谅抨皿获君润降俩着撩卡抢烛榔吮蹈尔子干途嚣敢精扬撼盯誉搪铣熊卖恫衣棠跪艺尸鞘谣醉爸迪矮颈狠息全氧希省劳惹截