2015届高考理科数学第二专题整合检测题12.doc

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选修4-5 不等式选讲

A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．不等式x＋|2x－1|<3的解集为________．
解析　原不等式可化为
或
解得≤x<或－2<x<.
所以原不等式的解集是.
答案　
2．不等式|x－1|＋|x＋2|<5的解集为________．
解析　法一　当x<－2时原不等式即1－x－2－x<5，
解得－3<x<－2；
当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x<5，
因为3<5恒成立，则－2≤x≤1；
当x>1时，原不等式即x－1＋2＋x<5，
解得1<x<2.
综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
法二　不等式|x－1|＋|x＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
答案　{x|－3<x<2}
3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析　＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2
＝9.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
答案　9
4．(2014·广州模拟)不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________．
解析　∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴a≤3.
答案　(－∞，3]
5．使关于x的不等式|x＋1|＋k<x有解的实数k的取值范围是________．
解析　|x＋1|＋k<x⇔k<x－|x＋1|，
又x－|x＋1|＝
∴x－|x＋1|的最大值为－1.
∴k<－1.
答案　(－∞，－1)
6．(2014·湖南六校联考)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|≥a的解集是全体实数，则a的取值范围是______．
解析　令f(x)＝|x－3|＋|x－4|，
则|x－3|＋|x－4|≥|x－3＋4－x|＝1，
则f(x)min＝1，故a≤1.
答案　(－∞，1]
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析　令t＝|x＋1|＋|x－2|，得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.
答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
解析　原不等式可化为
或或
解得－≤x≤，
即原不等式的解集为.
答案　
9．(2014·江西重点盟校二次联考)若不等式＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．
解析　∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，
只需|m－1|≤4，
即－3≤m≤5.
答案　[－3,5]
10．(2014·临沂模拟)对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足______．
解析　∵|2－x|＋|3＋x|≥5，
∴要使|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，
即5≥a2－4a，
解得－1≤a≤5.
答案　[－1,5]
11．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是______．
解析　|3x－b|<4⇒<x<⇒
⇒5<b<7，即b的取值范围为(5,7)．
答案　(5,7)
12．(2014·西安八校联考)已知关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．
解析　|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，要使关于x的不等式不是空集，则|a－1|≤8，∴－7≤a≤9，即a的最小值为－7.
答案　－7
13．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．
解析　∵二次方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则由Δ＝1－4≥0得＋|a|≤，由绝对值的几何意义知0≤a≤.
答案　
14．不等式>|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析　＝|x|＋≥2，
所以|a－5|＋1<2，
即|a－5|<1，∴4<a<6.
答案　(4,6)
15．(2013·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析　由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋·)2＝mn(a＋b)2＝2.
答案　2
B组(供高考题型为解答题的省份使用)
1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解　(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
当x<－时，
由f(x)＝－x－5>2得x<－7，
∴x<－7；
当－≤x<4时，
由f(x)＝3x－3>2得x>，
∴<x<4；
当x≥4时，由f(x)＝x＋5>2，
得x>－3，∴x≥4.
故原不等式的解集为
.
(2)画出f(x)的图象如图：

∴f(x)min＝－.
2．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明　因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2，
所以＋＋＋abc≥2.
3．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明　法一　因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc)， ②
所以2≥9(abc).
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc).
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ①
同理＋＋≥＋＋， ②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6. ③
所以原不等式成立，
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．
解　∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5，知0<≤，∴a≥.
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
(1)证明　由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
6．(2014·沈阳模拟)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到点1、2的距离之和大于等于2.
∴x≥或x≤.
∴不等式的解集为.
注：也可用零点分段法求解．
(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，
∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，
∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.
∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．
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