高二数学下册同步强化训练题21.doc

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专题6解析几何
第2讲 圆锥曲线
一、选择题
1．(2011·安徽理，2)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
[答案]　C
[解析]　由2x2－y2＝8可得－＝1，
则a2＝4，a＝2,2a＝4，故选C.
2．(2011·湖南理，5)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　C
[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，
比较y＝±x，∴a＝2.
3．(2011·天津文，6)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
[答案]　B
[解析]　∵抛物线的准线与双曲线的一条渐近线的交点为(－2，－1)，
∴－＝－2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，
双曲线渐近线的斜率＝.
∴抛物线焦点坐标为(2,0)．
由题意2－(－a)＝4，得a＝2，
∴b＝1，c2＝a2＋b2＝4＋1＝5.
∴2c＝2.
4．(2011·山东菏泽)方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵3＝＋2，
∴2(－)＝－，
∴＝2，即a－c＝4c，
∴e＝＝.
5．(2011·海南五校联考)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是(　　)

A.＋1 B.－1
C. D.
[答案]　A
[解析]　设正六边形的边长为1，则AE＝，ED＝1，
AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2，
∴e＝＝＝＋1.
6．(2011·大连一模)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，当＋＋＝0，且||＋||＋||＝3时，此抛物线的方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝8x
[答案]　A
[解析]　由题意知焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由＋＋＝0，得(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，∴x1＋x2＋x3＝.又由抛物线定义，得||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，因此所求抛物线的方程为y2＝2x.
7．(2011·大纲全国卷理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　方法一：联立，不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，
cos∠AFB＝＝＝－.
方法二：|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，
由余弦定理知，cos∠AFB＝＝－.
8．(文)(2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
[答案]　C
[解析]　如图所示：

∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|
∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3
∴AB的中点P到准线的距离
|PN|＝(|AK|＋|BM|)＝
∴点P到y轴的距离为－＝.
(理)(2011·浙江理，8)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1 恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C. b2＝ D．b2＝ 2
[答案]　C
[解析]　由双曲线x2－＝1知焦点坐标为(－，0)，(，0)，渐近线方程为y＝±2x.
∴椭圆中：a2＝b2＋5，由条件知|AB|＝2a，
由得x2＝，
y2＝，又2＝|AB|，
∴＝
整理，得：a2＝11b2，结合a2＝b2＋5，得a2＝，b2＝，选C.
二、填空题
9．(2011·陕西质检二)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
[答案]　y2＝4x
[解析]　设抛物线的标准方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，则kAB＝＝，∴＝1，解得p＝2，即所求抛物线方程为y2＝4x.
10．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．
[答案]　y＝x
[解析]　因为抛物线顶点在原点，焦点F(1,0)，故抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，
则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
11．(文)(2011·山东文，15)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．
[答案]　－＝1
[解析]　椭圆焦点为(±，0)，所以a2＋b2＝7，椭圆离心率为e＝，∴＝×2，∴a＝2，b＝，
∴双曲线方程为－＝1.
(理)(2011·江西理，14)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________．
[答案]　＋＝1
[解析]　解法一：点在圆外过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
解法二：由题意可得切点A(1,0)．
切点B(m，n)满足解得B.
∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.
令y＝0得x＝1，即c＝1；
令x＝0得y＝2，即b＝2.
∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.
12．(文)(2011·江西文，12)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[答案]　48
[解析]　c2＝a2＋b2＝16＋m，又∵e＝，
∴e＝2＝，∴m＝48.
(理)(2011·海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是________．
[答案]　(，)
[解析]　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴<c<，∵e＝＝＝1－，且<1－<，∴该椭圆的离心率的取值范围是(，)．
三、解答题
13．(2011·北京西城5月抽考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程．
[解析]　(1)由已知2a＝6，e＝＝，
解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点，
所以Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为E，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，
所以AB的中点坐标为E，
因为|PA|＝|PB|，所以PE⊥AB，kPE·kAB＝－1，
所以·k＝－1，
解得k＝1或k＝－1，经检验，符合题意．
所以直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.
14．(文)(2011·天津文，18)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
[解析]　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝，
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)，
A，B两点的坐标满足方程组，
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解，
不妨设A，B，
所以|AB|＝＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c，
圆心到直线PF2的距离
d＝＝.
因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
(理)(2011·天津理，18)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
[解析]　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.整理得
22＋－1＝0.得＝－1(舍)或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为v＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)．
由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0，
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
15．(2011·北京理，19)已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A、B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
[解析]　(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1，
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2.
所以|AB|的最大值为2.

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