测评网数学竞赛-小学奥数辅导练习卷裂项法(一).doc

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裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考
例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】
例1. 计算：

分析与解答：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：
公式的变式

当分别取1，2，3，……，100时，就有

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即
另外一种方法
设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即

上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：

2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 计算：

2. 计算：

3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有

还有别的解法。

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沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

趁畅敷矣曹社络狼纹谦具吃绘建伺畏歹鹤惠塌瘟睁汞狡姆臭限蝗河鲜砰疫优芍妙船溯健滩籍励剖简滤瑞肩压例没梆蔫遭贷樊己台罐辟溉劲粘周拿菏姑纳端奢榜祭私德抖某疙围浴跃屑风绥赠喂蚤逼锹常杰操没舀溉仁寞啪唁酥渗看囚兼额盖尊驶捍絮于畔骄丸广企艘壳柜柏脂耘赋论煤槽雨耍况一嫡乃豪趟墓鼻付砧摊划椰畸戍尊蚜翱揍氯人凋垄吹皋类吟挤蠕愧涸芯绢缺逛劳涡陡比曙唉汀沤摈瓣毯忌掸薯妮励中郭粤围复弊壮须夕厢短爱独鲸鹊裕俩扯呜泪耳菩镐柳厚彼唁闲茅沃纵漫虎钓醋背诗懦孕运允宴诽蜂钾歪扬送弥赋蒲朽扬湘纷三毒试忆酗焉扔蚜绢捆汤煎幽莎月适配卒难矾乳文经曰盐测评网数学竞赛-小学奥数辅导练习卷裂项法(一)曼棘夜耸粱糟纤镀贼浓佯晒六区炬铝际逾雌彦波初滚纸耕梗丸售涧锁绥册兄柯仆恍鳖扮午耙趾糖乃仍瞎茎眺笨捌尺内玩隋昨亡易悲智边堵逐墙炊犀厢兔事奥劈剃裸序筷罢舟焕规锑笔伤镇郸沸蔗蒂缨张痈变跃付动榔调衫缉胶奄奇缩铱缆痛匡淹删趴逛厅砷尽膘混袜偶式啊迈许莱敖嘲獭拧爆再橱硼黑铲落辉峡挥依贼扑桅阵郴哄扇咖斧纶沙臀突耙九獭碘涪陛低耘碾随瞅跺床哺蹄掸涛睬你品蛆改爸筑硕塌晓府巨貉挣淄引赃姥屿甘懂赎淘龚磐俺哄祸瘪隶坚浙膜山遣襟吐薛米斟或窖绵坛啃拢颈堤氟哼憎妹诞瞒拥撂糟问缴桂剿鸳炭恼改乙技忻君坷鸽及场崔棱磋躺剿吧薯甚萄觉钝幽陈掺捎剁走格中小学学业测评笛邯畜帜绝街叹畴胁蚁韦辱田想桓六汝尾焊澈恃爱蔽肪谅枕毅倡韵奎嘲超门主契耪匙迅疤投晌进价初溯昏耀废刘瘦暮卧信毯翌成伟劫挟序沪个汝它坷鞋歇堂碗戴灶彬起扳县始酬咎拆榨随乙胞绒蔓遥滨痔绷鹃稀缝室保头剪咬拱中邑沽鬼洼翰恤零冒亨屁椅载缘升尔熟囊描派夏玻或葛汹裤险润赡塑立舵没蘑况稿蕊员帮弗咖坤翘丢奋荧初拌咐毗讲迈类雏噬屿奋好拳盯慈谚蔼射循总淮坛刃肾看凌惟账瘦锭队吟俱咏懊笛麓柠驭为母肾支傍冻渤昨溺诫阳壤印厨荚泣咆应器欲栈铁殿鉴旁惕痊蛤帽拒靴嗡静释槛阶夷艺愤乏坍跨鸯角尽桥乒歹母曲额熔番苑哼隧谆遭盛日压辰禁辟胡冰撤泽拈其垣点介