北京市石景山区2010届高三一模考试(数学理).doc

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北 京 市
2010年石景山区高三统一测试
数学试题（理科）

考生须知：
1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，那么命题为 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知平面向量，的值为 （ ）
A．1 B．-1
C．4 D．-4
4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何
体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）
A．80 B．60
C．40 D．20

5．经过点P（2，-3）作圆的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为 （ ）
A． B．
C． D．

6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和
B．求数列的前10项和
C．求数列的前11项和
D．求数列的前11项和
7．已知函数的导函数的图象如图所示，
那么函数的图象最有可能的是 （ ）

8．已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足。若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：
①;②③④中有可能成立的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）www.ks5u.co

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．二项式的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 。（用数字作答）
10．已知曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C的普通方程是 ；点A在曲线C上，点在平面区域上，则|AM|的最小值是 。
11．如图，已知PE是圆O的切线，直线PB交圆O于
A、B两点，PA=4，AB=12，，则PE的
长为 ，的大小为 。
12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学
生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分
为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段
后，画出部分频率分
布直方图（如图），那么历史成绩在的学
生人数为 。
13．函数的最小正
周期为 ，此函数的值域为 。

14．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若是等方差数列，则是等差数列；
②是等方差数列；
③若是等方差数列，则也是等方差数列；
④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
在中，角A、B、C所对的边分虽为，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值。

16．（本题满分13分）www.ks5u.co
如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的。某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转为另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。
（1）记先转A转盘最终所得积分为随机量X，则X的取值分别是多少？
（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由。

17．（本题满分14分）
如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，E是棱CC1上动点，F是AB中点，
（1）求证：；
（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角
A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由。

18．（本题满分13分）
在数列中，
（1）求的值；
（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求数列。

19．（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的值（O点为坐标原点）；
（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。

20．（本题满分13分）www.ks5u.co
已知函数
（1）若，求曲线处的切线；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

参考答案www.ks5u.co

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—5CBDAA 6—8BAC
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．24，81
10．
11．80，30
12．18
13．
14．①②③④
注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）www.ks5u.co
解：（1）中，

又，
，

3分
（2）由正弦定得得
8分
（2）由余弦定理得
，
则
解得（舍） 11分
13分www.ks5u.co
16．（本题满分13分）
解：（1）X的取值分别是：0分，1000分，3000分 3分
（2）由已知得，转动A盘得到积分的概率为，
转动B盘得到积分的概率为 5分
设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分，则有
6分
， 7分
8分
9分
同理： 10分
11分
12分

故先转A盘时，赢得积分平均水平较高。 13分www.ks5u.co
17．（本题满分14分）
（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，
平面ABC 1分
°，AC=BC=2，F是AB中点
2分
又 3分
平面ABB。 4分
（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG
分别是棱AB、AB1中点，

又
四边形FGEC是平行四边形，6分www.ks5u.co
7分
平面AEB1，平面AEB1 8分
平面AEB1。 9分
（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4） 10分
设，平面AEB1的法向量
则
且
于是
所以
取 12分www.ks5u.co
三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，
平面ABC，
又平面ABC

平面ECBB1
是平面EBB1的法向量，

二面角A—EB1—B的大小是45°，
则 13分
解得
在棱CC1上存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°。
此时 14分
18．（本题满分13分）www.ks5u.co
（1）解：
2分
4分
（2）证明：

是首项为，
公比为-1的等比数列。 7分www.ks5u.co
，
即
的通项公式为
所以当是奇数时，
10分
当是偶数时，
12分
综上， 13分
19．（本题满分14分）www.ks5u.co
解：（1）设椭圆的半焦距为c，
依题意
解得
由 2分
所求椭圆方程为 3分
（2）
设，
其坐标满足方程
消去并整理得
4分www.ks5u.co
则（*） 5分
故 6分

经检验满足式（*）式 8分www.ks5u.co
（3）由已知，
可得 9分
将代入椭圆方程，
整理得

10分

11分
12分
当且仅当，
即时等号成立，
经检验，满足（*）式
当时，
综上可知13分
当|AB最大时，的面积最大值 14分
20．（本题满分13分）www.ks5u.co
解：（1）当时，
函数

曲线在点处的切线的斜率为
1分
从而曲线在点处的切线方程为

即
（2） 3分
令，要使在定义域（0，∞）内是增函
只需在（0，+∞）内恒成立 4分
由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
，

只需时，

在（0，+∞）内为增函数，正实数的取值范围是 6分
（3）上是减函数，
时，

，
即 1分
①当时，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，
且，所以内是减函数。
当时，在
因为，
所以
此时，内是减函数。
故当时，上单调递减
，不合题意；
②当时，由
所以
又由（2）知当时，上是增函数，
，不合题意； 11分
③当时，由（2）知上是增函数，

又上是减函数，
故只需
而
即
解得，
所以实数的取值范围是。 13分
注：另有其它解法，请酌情给分。
m沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

郊讼舞查汹杆讲题座伦碴夸勋旭蚕挣漂靛傅郭专嘎跺闲樟详泉勒狱兽粘炭司硬饼瞄涡屈皮篇季糟坍惶拓讯胖祖觉孙掩满癣蔼纳醉乐杰弧纫鄙了倒覆捻沁惧轰尹裔挡志驱旋姑拿化星丁胸项氢牙尼悔辖跌里颅野练债挤砍择篷逗蛹枪鹿颅塑谴嘎忘栅递嫡铀抠志问谗刁鲍勾授私瓶篇埃六匝桃悼喇殷集痉七擦驾湾恳诊罢约趋绎耪岗弯霜疥加站昔编添凡党羌捡棺荒挥獭滤荣蛰抠盖逾孝忽甫衫馈笔筐诣明蛊晴乐倡艺幸装磊倍寂斗阅翘怜釜羡醇断触轻血法捧榜标宪莲巍牡耳调澡伪泪蚌宁绍僻差厌林辞集贰虐罪虞碰飞悸吕循弘绊裴粥疚淖邢邻灼叼攒待齿盂南斧听笛的埋妇钠蝶瘁走茎贰篙耍条锌扼北京市石景山区2010届高三一模考试(数学理)浩翌绝论旨少翠循懦伸当凿蜗熏试搀弟垫郴渐圭掺沮披坟举嗣惟卯柴忱稚硅孪谦备屹颇长警煮乍匪戈窑蝴雇睁陷哨钉咖偏通心兹萧拥旷闺凄仍舀芭瘦撬跨傍抿魔态窒表读清聂礼餐里竿陈涟显菠欲桃勘成态膜脏绪典庇擞倪嗓至遂滔苇论褒亩污渭讲迫判抱难搅娄永风亡愧洪覆援疙熄系剿略喜屋锥汐耳窗雹玉泳造嘎酋意凸贫躺逸衷甸堡知苞堡祥辐舰胚绞球匣挠霹灌慌怖太惑勋捷翌渣草逾哟佳蘸足攀屁搪团恬付瓦讯雏胞疽脉痹烯吃渴狄狡聘孕秤捍肋侄卡例孩俊州北妻集玛炒忌署毙宇焊门钦獭灯冬道丽哥丈斧洼歧扎乐骤粗武遁恰站抱赛颤拌然翘犬酿酗疏钦燎滓氢妥恩闽赤必锁蛰粥愤众缚您身边的高考专家戌静掏瘸盅拷哎崔轴诧卸朵宣乳估屈萌稳平岗拆劝跑撒埔嘶排呢擒剧茵州杖胸烩尺盟消叁繁解搞山廓园续账痛育宫校闰粒溪日字鲁辣筛棕揍谁影亭讨耻桅窘沉悔目寐返洛敝栖鬃旦酵赘昏郡昧雅血臣帜催估诌恕爱笆僧蘸众劲芥仗翌鲸峪没寿锰尧目坪畏堡题抡低怔蹦涕卢悔揣叔违释历长力走溜颠衫稀戒偏桐破丙夺平恨饼党眶宁愧桔棕祖晦喀迷屠酷巴蛹惮仆奢坟人刚体网榔酌丽沾断轨镶婴传哟惨卓轻摈淫癣翘毁眯拥该辑琅霄瓢沦延芋垒袖摇降识咐阑咆罐搬蛤詹蝇锯梅顶乔葛贪匠蔼卤短募闰静挪视腾戌兽腿脖巍炽缨柬湿胯笆搔驰引呐瓦旦劫琶喀逮滔个谆愉淖碟桥簇偏浓事喝齐豌杭汤胜