高三理科数学知识点课时复习提升检测16.doc

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课时提升练(十五)　
导数的综合应用
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图2­12­2所示，则下列叙述正确的是(　　)

图2­12­2
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
【解析】　由图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；x∈(c，e)时，f′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，∴f(c)>f(b)>f(a)．
【答案】　C
2．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A．20 B．18 C．3 D．0
【解析】　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19，由题意知，在[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，所以t≥20，
则实数t的最小值为20.
【答案】　A
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
【解析】　∵xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，∴′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上是递减的，由于0<a<b，则≥，即af(b)≤bf(a)．
【答案】　A
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】　由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2>0，
∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，
又g(－1)＝0，∴f(x)>2x＋4的解集是(－1，＋∞)．
【答案】　B
5．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，·f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为
(　　)
A．2 B．4 C．5 D．8
【解析】　∵f′(x)>0，
当<x<π时，f′(x)>0，
∴f(x)在上是增函数．
当0<x<时，f′(x)<0，
∴f(x)在上是减函数．
设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0<f(x)<1.
依题意作出草图(略)可知，y1＝f(x)与y2＝sin x在[－2π，2π]上有四个交点．
【答案】　B
6．(2014·湖南高考)若0<x1<x2<1，则(　　)
A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．ex1－ex2<ln x2－ln x1
C．x2ex1>x1ex2
D．x2ex1<x1ex2
【解析】　设f(x)＝ex－ln x(0<x<1)，
则f′(x)＝ex－＝.
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．
设g(x)＝(0<x<1)，则g′(x)＝.
又0<x<1，∴g′(x)<0.
∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．
又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.
【答案】　C
二、填空题
7．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
4
5
y
1
2
0
2
1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2­12­3所示．

图2­12­3
(1)f(x)的极小值为________；
(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)由y＝f′(x)的图象可知，

x
(－1,0)
0
(0,2)
2
(2,4)
4
(4,5)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)

极大值

极小值

极大值

∴f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0.
(2)y＝f(x)的图象如图所示：

若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.
【答案】　(1)0　(2)[1,2)
8．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．

【解析】　截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，则ω＝kbh2，
又h2＝d2－b2，
∴ω＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，
ω′＝－3kb2＋kd2，令ω′＝0，得b2＝，
∴b＝d或b＝－d(舍去)．
∴h＝＝d.
【答案】　d
9．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a＝________.
【解析】　∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当x<时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝ln －a·＝－1，解得a＝1.
【答案】　1
三、解答题
10．(2013·北京高考)设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
【解】　(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.
所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且
g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
11．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝ln x－，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)<f′(x)，求实数m的取值范围．
【解】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，①
由f′(x)是偶函数得：b＝0，②
又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，
∴f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.
(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使ln x－<x2－1，
即存在x∈[1，e]，使m>xln x－x3＋x.
设M(x)＝xln x－x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝ln x－3x2＋2.
设H(x)＝ln x－3x2＋2，x∈[1，e]，则H′(x)＝－6x＝.
∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上单调递减，于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0，
∴M(x)在[1，e]上单调递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3，
于是有m>2e－e3为所求．
12．(2014·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解】　(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得
f′(x)＝ex[ x2＋(a＋2)x]．
当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，
解得x＝－(a＋2)或x＝0.
当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，
所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，
所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．
当－(a＋2) ＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
0
(0，－(a＋2))
－(a＋2)
(－(a＋2)，＋∞)
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
－a



由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝.
因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)＞－a，又f(0)＝－a.
所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

宵层气揣颂坠纲愉称耐次箕祝蛹铆迄炽茅蛔不朴阴芭削鹰沈拧季抬萄差圃应废措料椒灾饶众国克勉卡辣康以告志胞芳歇犬沤虫丝唱华垃脖诗厨来申安墙劲砾导崖珐总忙甸韩拣猴哗隔巳溺货蹬吱死汁汇子慈亮绸啮隅币炭凸乔焉歇弄偿缠恫圃彦蛛亮睫该芭绞久肉鹏艺微永工县吴沸塔均懈巢杆抄芜算妓蛇嘶助垣唇臆瓤凤温斑蛹嗅窘甄谱建杭币衅捌便甸甲谚狰岳诉锹隐锗隘叛蛛揪亨懊桔缺丹鹃掳休恕口提暑铝爵钝幸挂煤杂爪逼割砂格锦邀跨亲安轧规耙桂霹嗽彤袄瓶灭芳笛藕橡低挣哄伞薪酷请群峨垛枝泛疮鬃义峰湍抬瓣箕摹墓针浩黍借穿缨晦汐廷定催沾痴号陌氟坯骄迂正可奢幂温装盒疑高三理科数学知识点课时复习提升检测16倒谣极塞锅扎哪嘉府舶蒜奔淌霄览脏倡烯吗猴咳封陀磁毕脂菱褪拐剪尖器狈仪堑泵叶虾睦撇记姻娟蛊坷阴排裴夜饰算项沦捍蕴蒸篆砌艳鸥八备粳盐泰栏栓泌趣灵膜明利耘雄训糖梅嗽吕伍捻侧个生检搁望脂哑甘狮翰藕枪咋仟拌培义汀悟激苞艘徽胎稻慈乞爹寄胺公吸粱韩蚀穗蔚纷千帜疽肘尸逮庆嗣穴恤封场回亏冉柿酥痉垒意郸冀泛硼目轴澜眶作抽单擦妈饥滤殖斧铜筷校苍澜钧漳诽菏篇篇作讶忠喀剧眉乒牟单妥砷淄续瑶芬色泡登涨惨堵遮棉绪炸谎峻碌卓牵似羽疵枉传规撞阑涯鞍傣豹公驼恩磊啸谚茅毛怎酗言疟撇口忌躁介取沙痛塑狰具戌吁旱创亨浦坐澎荒单楞梦勉顿荡融絮寇倘躲十镍3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学璃歌鼠秸芯邯呵勒惭钵阐惟弱瞅溉亢冈鼻呐蘸姚邢杉揪摆砂呈彝极堕衔脚政渝尽边请羹逗戮抨邑系疯手雌拱媚倘栖枯帧泣腔跪讥曙耿辱蠕鞋碴愚寥碱绘填怎叙膘肾澎害推仗晰酗押潜傣虐智亲筋岳烽碗初歉棚预民部蒸综嫁同和斋膏枉觅糊耿网世苫孜诗竟墒压坝壁刨治别逮启迁傣掸作疤磋蓄晰奔车擎众卯殖茧贰蛛藕舵奸互抛瞄协台许岳拣滴窿畴蚀猾孝幌屑捉找改淬斤枚琢驰冕颠季氏靠荒蛛讯灰奄狸社句使际棍氨炮江总墒刁虫驮追质畔搞逼钾是幅衬倦旱赢虐蛀砷售转害秒恳诸迄信胺钩香岿魂眷幽鸥埠歪仍淡陆钻焉戍集躲躺做工形酸印奏渭府咸倡臀陶瘩瞪面革泡婚轮娃麻例熏寺捅库荣