数学物理方法概论课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方法概论数学物理方法概论之之（线性空间）（线性空间）（线性空间）（线性空间）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联络电话：联络电话：联络电话：联络电话：1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间一、群一、群设设G是一元素集，是一元素集，“.”是某种定义在是某种定义在G上运算，对任意上运算，对任意有这种运算称为这种运算称为封闭运算。封闭运算。定义：群定义：群为由集合为由集合G和封闭运算和封闭运算“.”所组成系统，记为所组成系统，记为它满足以下三个公理：它满足以下三个公理：（1）运算满足结合律：）运算满足结合律：（2）存在单位元素存在单位元素e，有，有（3）对任意）对任意存在存在逆元素逆元素满足满足注意：当群满足运算交换率：注意：当群满足运算交换率：则称为则称为Abel群或交换群。群或交换群。第第4页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例例：（：（1）整数集合，以普通加法做运算，组成）整数集合，以普通加法做运算，组成Abel群。群。此时此时0是单位元素，是单位元素，n和和n互为逆元素互为逆元素。（2）二维旋转矩阵）二维旋转矩阵相对矩阵乘法也是一个相对矩阵乘法也是一个Abel群。群。是单位元。是单位元。和和互为逆元素。互为逆元素。例例：以上是满足交换律即：以上是满足交换律即Abel群，有没有不满足交换律例子？群，有没有不满足交换律例子？三维旋转集合是一个不可对易连续群三维旋转集合是一个不可对易连续群先绕先绕z轴转动轴转动90度，再绕度，再绕y轴转动轴转动90度度先绕先绕y轴转动轴转动90度，再绕度，再绕z轴转动轴转动90度度一样？一样？第第5页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：n个对象置换集合。不满足交换律，不是个对象置换集合。不满足交换律，不是Abel群。群。以以n=3为例。该集合包含为例。该集合包含3！=6个元素，能够表示为个元素，能够表示为定义一个乘法定义一个乘法“*”，其法则是两个置换乘积仍是一个置换，其法则是两个置换乘积仍是一个置换，运算由右至左连续施行两次。运算由右至左连续施行两次。第第6页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间二、域二、域域是满足以下三条公理系统，记为域是满足以下三条公理系统，记为（1）系统）系统是一个含有单位元素是一个含有单位元素0Abel群；群；（2）设）设是除是除以外全部以外全部集合，集合，则系统则系统是一个含有单位元素是一个含有单位元素eAbel群；群；（3）相对于，满足分配率，即）相对于，满足分配率，即第第7页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：全部有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通加全部有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通加法和乘法都组成了法和乘法都组成了域。域。有了域概念我们能够定义线性空间有了域概念我们能够定义线性空间（1）在非空集合）在非空集合V内任一对元素间定义运算（），使内任一对元素间定义运算（），使组成组成Abel群。群。(单位元素用单位元素用0表示，表示，x逆元素用逆元素用x表示表示)结合律结合律交换律交换律零元素零元素负元素负元素满足：满足：三、线性空间三、线性空间第第8页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间则称则称V是数域是数域F上线性空间（向量空间），记为上线性空间（向量空间），记为V(F)。（以上（以上8个公式为线性空间个公式为线性空间8个公理个公理）（2）在数域）在数域F中数与中数与V中元素之间定义一个纯量乘法运算，中元素之间定义一个纯量乘法运算，对对F中任意数中任意数与与V中任一元素中任一元素,都可由该运算唯一决定都可由该运算唯一决定V中一个元素中一个元素y,记为记为,数乘满足：数乘满足：左分配律左分配律右分配律右分配律结合律结合律数数1数乘数乘第第9页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：n维向量空间定义维向量空间定义：是一个以：是一个以n重有序数重有序数为元素组成集合，其中为元素组成集合，其中，定义向量加法，定义向量加法其中：其中：向量数乘：向量数乘：零向量：零向量：逆元：逆元：能够证实，这个能够证实，这个n维向量空间是一个线性空间，记为维向量空间是一个线性空间，记为例：全部复数集合也是一个复线性空间。例：全部复数集合也是一个复线性空间。第第10页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第11页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第12页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间对于线性空间对于线性空间有以下定理存在：有以下定理存在：定理定理1：（：（1）当）当y和和z已知时，方程已知时，方程有唯一解有唯一解x（2）假如）假如，则，则（3）对每一个）对每一个（4）对每一个）对每一个（5）假如）假如，则，则或或定理定理2：若把若把定义为定义为x和和y之差，则有之差，则有第第13页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间设设V是是F上线性空间，假如上线性空间，假如（即（即是是V中一些向量集合），且满足：中一些向量集合），且满足：（1）对任意）对任意（2）对任意）对任意则称则称是是V线性线性子空间子空间。定理定理：在：在V(F)中任取一组向量中任取一组向量，这组向量，这组向量全部线性组合集合全部线性组合集合是是V一个子空间。并称这一个子空间。并称这个子空间是由向量集合个子空间是由向量集合所张成所张成（生成）子空间。（生成）子空间。四、线性子空间四、线性子空间第第14页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第15页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第16页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第17页页五、线性空间基与维数五、线性空间基与维数基基：指线性空间：指线性空间V中最大线性无关子集。中最大线性无关子集。V中任一向量均可中任一向量均可由这个子集中向量线性组合表示。由这个子集中向量线性组合表示。维数维数：基中所含向量数目，称为空间维数。：基中所含向量数目，称为空间维数。例：实三维空间中三个向量组成一组基例：实三维空间中三个向量组成一组基因为它们是线性无关且任意向量因为它们是线性无关且任意向量x均可表示成这三个向量均可表示成这三个向量线性组合线性组合 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第18页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间解：在解：在中设有中设有阶矩阵阶矩阵，其中位于，其中位于元元素为素为1，其它元素为，其它元素为0。如。如，轻易证实，轻易证实是是一组基，且线性无关，一组基，且线性无关，任何矩阵任何矩阵均可由它们线性表示。均可由它们线性表示。所以所以又因为又因为，所以，所以A在在该基下坐标为：该基下坐标为：例：例：写出实数域写出实数域R上矩阵空间上矩阵空间一组基，求一组基，求，并并求求在此基下坐标。在此基下坐标。第第19页页六、线性空间同构六、线性空间同构（A）映射定义：）映射定义：设设S1和和S2是两个非空集合，假如按照是两个非空集合，假如按照一定法则一定法则f，对于，对于S1中每个元素中每个元素x，都存在，都存在S2中一个确定元素中一个确定元素y与之对应，则称与之对应，则称f为定义在为定义在S1上取值于上取值于S2中一个映射，记为中一个映射，记为，y称为称为x在映射在映射f 下像。下像。S1：2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间fS2xy集集S1称为映射称为映射f定义域定义域集集S2称为映射称为映射f 值域值域映射种类：映射种类：满射、单射、双射满射、单射、双射第第20页页（B）线性空间同构）线性空间同构设设S=E,*和和S=E,是分别含有封闭运算是分别含有封闭运算*和和代代数系统，假设数系统，假设f是一个从是一个从E到到E双射，即一一映射，它给每个双射，即一一映射，它给每个属于属于E元元a，b，c，E，都有指定属于，都有指定属于E元，元，f（a），），f（b），），f（c），E，与之对应，与之对应 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间E：fEf(a)设设a*b=c，则，则cf（c）=f（a*b）同构即要求）同构即要求af(b)bf若若a*b=c 则则f（a）f（b）=f（c）第第21页页线性空间同构判定方法：线性空间同构判定方法：设设U和和V是同一数域是同一数域F上两个线性空间，上两个线性空间，f是从是从U到到V一个一个映射，假如映射，假如:（1）f是一个双射；是一个双射；（2）f是一个线性映射，即是一个线性映射，即则称则称f是是U到到V同构映射，并说同构映射，并说U与与V同构同构。定理：定理：域域F上每一个上每一个n维线性空间都和空间维线性空间都和空间同构。同构。（即同一域上同维数任何两个线性空间是同构即同一域上同维数任何两个线性空间是同构。）。）2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第第22页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间同构意义：同构意义：在线性空间抽象讨论中，不论组成线性空间元素在线性空间抽象讨论中，不论组成线性空间元素是什么，其中运算是怎样定义，我们所关心只是这些运是什么，其中运算是怎样定义，我们所关心只是这些运算代数性质。从这个意义上能够说，同构线性空间是能算代数性质。从这个意义上能够说，同构线性空间是能够不加区分，而有限维线性空间唯一本质特征就是它维够不加区分，而有限维线性空间唯一本质特征就是它维数。数。同构映射不但能使两系统中元素保持一一对应关同构映射不但能使两系统中元素保持一一对应关系，而且还要求这种对应关系在各自运算下仍保持着，系，而且还要求这种对应关系在各自运算下仍保持着，即即x*y=z f（x）f（y）=f（z）第第23页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。比如前面讨例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。比如前面讨论三元素置换群与下述论三元素置换群与下述6个个2X X2矩阵相对矩阵乘法组成群是矩阵相对矩阵乘法组成群是同构。同构。比如比如AXB=FXB=F，从右向左：把从右向左：把1换为换为3，再把，再把3换为换为3，133,221312，所以，所以对应刚好是置换对应刚好是置换F。第第24页页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间而而AXBXB=F=F，刚好是置换刚好是置换F。普通来说，假如两个系统含有相同乘法表，这两个普通来说，假如两个系统含有相同乘法表，这两个系统便是同构，或结构等同。系统便是同构，或结构等同。第第25页页定义定义：指在线性空间：指在线性空间V(F)中变换中变换A,对每一个对每一个有确定向量有确定向量，且对任意，且对任意有有则称则称A为线性变换也称线性算子。式中为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量为标量 2 线性空间线性空间 2.2线性变换线性变换一、线性变换定义一、线性变换定义线性变换举例：零变换和单位变换是特殊线性变换。线性变换举例：零变换和单位变换是特殊线性变换。即零变换把空间任意向量变换成空间零向量，而单位变即零变换把空间任意向量变换成空间零向量，而单位变换是把任意向量变换成本身线性变换。换是把任意向量变换成本身线性变换。第第26页页 2.2线性变换线性变换证实：证实：满足线性变换定义，得证。满足线性变换定义，得证。2 线性空间线性空间例：例：设设是是空间一个给定单位向量，对于空间任一向空间一个给定单位向量，对于空间任一向量量，若变换，若变换定义为定义为则则是一个线性变换。是一个线性变换。第第27页页 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第28页页 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第29页页 2.2线性变换线性变换二、基本运算：二、基本运算：（1）变换加法：）变换加法：（2）变换数乘：）变换数乘：（3）变换乘法：）变换乘法：其中其中 是线性变换是线性变换，是线性空间是线性空间V中向量中向量。说明说明：（：（1）线性变换相乘普通不服从交换律。）线性变换相乘普通不服从交换律。（2）满足下述运算性质）满足下述运算性质 2 线性空间线性空间第第30页页三、线性变换逆变换：三、线性变换逆变换：假如线性变换假如线性变换A满足：满足：（1）（2）则存在则存在A逆变换，记为逆变换，记为，称，称A是可逆。且是可逆。且可逆性判定定理：可逆性判定定理：2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第31页页四、线性变换矩阵表示：四、线性变换矩阵表示：于是，当于是，当已知时已知时即可完全确定。即可完全确定。定理定理1：设设是线性空间是线性空间一组基，一组基，A是是上一个线性变换，只要给出上一个线性变换，只要给出像向量像向量，则，则A完全确定。完全确定。证实：证实：只要证实对只要证实对中任一向量中任一向量，其像向量，其像向量唯一确唯一确定即可。因为定即可。因为是基，对是基，对有有 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第32页页定理定理2：设设是是一组基，一组基，是是中任意中任意n个向量，则存在唯一线性变换个向量，则存在唯一线性变换A，使，使定理定理3：有限维空间上线性变换（称此空间可分），当选择一有限维空间上线性变换（称此空间可分），当选择一组基后，便与一个确定矩阵相对应。反之，在固定基下，每组基后，便与一个确定矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定线性变换。一个矩阵对应一个确定线性变换。即线性变换与对应矩阵同构，使得线性变换运算与矩阵相即线性变换与对应矩阵同构，使得线性变换运算与矩阵相关运算法则对应关运算法则对应 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第33页页例：例：求求Fxn求导变换，在基求导变换，在基1，x，x2，,xn-1下矩阵。下矩阵。解：解：因为因为即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与对应矩阵是一即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与对应矩阵是一一对应关系。一对应关系。2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间所以所以第第34页页定理定理4：同一线性变换在不一样基下对应矩阵是相同。同一线性变换在不一样基下对应矩阵是相同。即：若存在可逆矩阵即：若存在可逆矩阵A，使矩阵，使矩阵B和和C满足满足则称则称B和和C是相同矩阵是相同矩阵。记。记矩阵相同是一个等价关系，含有：矩阵相同是一个等价关系，含有：2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第第35页页例：例：设设A是一个实三维空间上旋转变换，它把空间任一矢是一个实三维空间上旋转变换，它把空间任一矢量量绕绕轴右旋一个角度轴右旋一个角度,求此变换在求此变换在Cartesian基下矩基下矩阵。阵。解：这里我们用解：这里我们用表示直角坐标系中三个单位矢量，即表示直角坐标系中三个单位矢量，即实三维空间一组基。实三维空间一组基。2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间所以变换所以变换A在基在基下矩阵表示为下矩阵表示为依据依据A定义：定义：第第36页页定义：定义：设设A是是V(F)上线性变换，假如上线性变换，假如则称则称为为A本征值本征值，为为A属于属于本征向量本征向量。上述条件也能够表示为：上述条件也能够表示为：不妨设有限维空间基不妨设有限维空间基,x可表示为：可表示为：又设又设A在此基下矩阵为在此基下矩阵为，则有，则有2.3线性变换本征值与本征向量线性变换本征值与本征向量2线性空间线性空间第第37页页即：即：有有非零解条件是非零解条件是：上式左边行列式是上式左边行列式是n次多项式。在复数域上有次多项式。在复数域上有n个零点，即个零点，即n维空间上任何线性变换在复数域上必有维空间上任何线性变换在复数域上必有n个本征值。另外，因个本征值。另外，因为为，秩必定小于秩必定小于n，所以每个本征值最，所以每个本征值最少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基选择无关。少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基选择无关。2.3线性变换本征值与本征向量线性变换本征值与本征向量2线性空间线性空间第第38页页(1)线性变换线性变换A本征值集合称为本征值集合称为A谱谱，其中本征值模最大值称，其中本征值模最大值称为为谱半径谱半径。(2)若若是是A本征多项式本征多项式k级零点，则说该本征值级零点，则说该本征值代数重数代数重数为为k。当。当时称时称A谱是谱是简并简并。(3)假如变换假如变换A有有n个线性无关本征向量（个线性无关本征向量（n为空间维数），则为空间维数），则它矩阵一定能够经过相同变换它矩阵一定能够经过相同变换对角化对角化，且对角元素为，且对角元素为A本征本征值。值。说明：说明：注意：定理给出注意：定理给出A本征值不一样是对应本征向量线性无关充本征值不一样是对应本征向量线性无关充分条件，并非必要条件。分条件，并非必要条件。定理：定理：设设是线性变换是线性变换A两两相异本征值，则对应两两相异本征值，则对应地本征向量地本征向量线性无关。线性无关。2.3线性变换本征值与本征向量线性变换本征值与本征向量2线性空间线性空间第第39页页例：例：以下矩阵是否与对角矩阵相同以下矩阵是否与对角矩阵相同解：解：（1）属于特征值属于特征值与线性无关特征向量有两个，因为与线性无关特征向量有两个，因为此时此时2.3线性变换本征值与本征向量线性变换本征值与本征向量2线性空间线性空间秩：秩：，与线性无关特征向量有，与线性无关特征向量有312个个所以所以A一定能够与对角阵一定能够与对角阵相同。相同。第第40页页秩：秩：，所以属于，所以属于线性无线性无关特征向量只有关特征向量只有（2）特征值分别为：特征值分别为：含有三不一样特征值即含有三不一样特征值即3个不一样本征向量，必有相同对角矩阵。个不一样本征向量，必有相同对角矩阵。2.3线性变换本征值与本征向量线性变换本征值与本征向量2线性空间线性空间（3）三个特征值三个特征值对对有有从而从而A一定不能与对角阵相同。一定不能与对角阵相同。第第41页页在实三维空间，普通向量长度和两向量夹角是经过标积定义，在实三维空间，普通向量长度和两向量夹角是经过标积定义，假如假如则：则：x 长度长度夹角夹角作为标积推广，能够引入作为标积推广，能够引入内积内积概念。概念。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间两个向量标积两个向量标积第第42页页2.4内积空间内积空间一、内积定义一、内积定义对于线性空间对于线性空间V(F)内任一对有序向量内任一对有序向量都有域都有域F内一内一个确定数与之对应，记为个确定数与之对应，记为，其对应规则满足以下三，其对应规则满足以下三个条件：个条件：定义了内积线性空间称为定义了内积线性空间称为内积空间。内积空间。F是实数域为是实数域为实内积空实内积空间间（欧几里得空间），复数域为（欧几里得空间），复数域为酉空间酉空间。说明说明:1、对实内积空间，对实内积空间，不起作用，能够略去。不论实内积空间还是不起作用，能够略去。不论实内积空间还是复内积空间，条件复内积空间，条件(1)意味着任何向量与本身内积总是实数，从而确保意味着任何向量与本身内积总是实数，从而确保了条件了条件(3)不等式有意义。不等式有意义。2、在同一线性空间，能够按照各种形式定义内积空间，只要满足内积、在同一线性空间，能够按照各种形式定义内积空间，只要满足内积公理。公理。2线性空间线性空间内积公理内积公理第第43页页二、向量范数、内积和范数性质：二、向量范数、内积和范数性质：（1）范数定义：即向量长度，记为）范数定义：即向量长度，记为（2）内积和范数性质）内积和范数性质定理定理1：在任何内积空间，有在任何内积空间，有2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第第44页页证实证实:(1)由内积公理第一条知由内积公理第一条知由内积公理第三条得由内积公理第三条得xy0，即，即xy。其它证实类似。其它证实类似。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间(由第二条由第二条)(由第一条由第一条)(2)如对任意如对任意z，(x,z)(y,z)成立，则成立，则(x y,z)0(对全部对全部z)取取zxy(因为因为z任意性任意性)得得(x y,x y)0第第45页页定理定理2：（施瓦兹：（施瓦兹Schwartz不等式）若不等式）若x,y是复内积空间中任是复内积空间中任一对向量，则一对向量，则定理定理3：（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量x,y都有都有证实略。证实略。柯西许瓦兹不等式柯西许瓦兹不等式2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间注意：上等化为等式当且仅当注意：上等化为等式当且仅当时成立。时成立。这等价于这等价于x,y中有一个零向量，或者中有一个零向量，或者ykx，k0第第46页页三、正交性和完备性三、正交性和完备性定义定义：（：（1）当且仅当）当且仅当时，称时，称x与与y正交正交。（2）设）设是一个向量集合，假如对全部是一个向量集合，假如对全部满足满足则称该集合是则称该集合是正交归一集正交归一集。（3）在有限维空间中，假如一个正交归一集不含于任何一）在有限维空间中，假如一个正交归一集不含于任何一个更大正交归一集中，则该正交归一集被说成是个更大正交归一集中，则该正交归一集被说成是完备正交完备正交归一集归一集。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第第47页页定理定理1：正交归一集是线性无关集。（即在正交归一集是线性无关集。（即在n维空间中任何维空间中任何n个向量正交归一集都能够作为该空间基）个向量正交归一集都能够作为该空间基）定理定理2：（：（Bessel不等式）设不等式）设是内积空间是内积空间任一有限正交归一集，任一有限正交归一集，x为空间任一向量，则为空间任一向量，则其中，其中，。且。且与每一个与每一个正交。正交。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第第48页页以下几个相关有限维内积空间正交归一集完备性说法等价：以下几个相关有限维内积空间正交归一集完备性说法等价：定理定理3：设设是内积空间是内积空间Vm个向量组个向量组成正交归一集，则下述关于成正交归一集，则下述关于X说法彼此等价：说法彼此等价：Parseval等式等式2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第第49页页一、度量矩阵一、度量矩阵对一个对一个n维空间维空间Vn，要定义内积（，要定义内积（x,y），只要确定一组基），只要确定一组基间内积就能够了。设间内积就能够了。设是一组基，则是一组基，则上式中矩阵上式中矩阵由各基向量间内积决定，称为在由各基向量间内积决定，称为在基基下下度量矩阵度量矩阵。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第第50页页说明：说明：（1）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足（2）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。（3）度量矩阵与基选择相关。最简单度量矩阵就是单位矩）度量矩阵与基选择相关。最简单度量矩阵就是单位矩阵，对应基就是正交归一基。即度量矩阵能够经过选择一阵，对应基就是正交归一基。即度量矩阵能够经过选择一组正交归一基转化为单位矩阵。组正交归一基转化为单位矩阵。（4）定义正交归一基方法：葛兰姆施密特正交化方法。）定义正交归一基方法：葛兰姆施密特正交化方法。（正定），在实空间是对称矩阵。（正定），在实空间是对称矩阵。（厄米）（厄米）2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第第51页页二、葛兰姆施密特二、葛兰姆施密特(G-S)正交化方法正交化方法设设是是Vn中任一组基，利用中任一组基，利用G-S方法建方法建立正交归一基立正交归一基方法是：方法是：（1）因为）因为，不然，不然X不会是线性无关集，故可命：不会是线性无关集，故可命：则则是一个归一向量。是一个归一向量。（2）令）令即即是是线性组合则线性组合则故：故：故令故令得得，类似地，我们能够得到，类似地，我们能够得到2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第第52页页例：设例：设空间中一组基：空间中一组基：求：由此基确定一组正交归一基。求：由此基确定一组正交归一基。解：解：因为：因为：2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第第53页页类似地，类似地，可见可见正交，即所求。正交，即所求。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第第54页页定义：定义：已知已知A是内积空间上线性变换，假如对任意是内积空间上线性变换，假如对任意，变换，变换满足满足则称则称为为A伴随算子。伴随算子。几点说明：几点说明：（1）对给定线性算子，其对应伴随算子是唯一，且是线性。）对给定线性算子，其对应伴随算子是唯一，且是线性。一、一、伴随算子伴随算子是是A转置共轭矩阵。转置共轭矩阵。2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第55页页（2）A和和在同一基下矩阵间关系在同一基下矩阵间关系设设是内积空间是内积空间基，基，A在该基下矩阵为在该基下矩阵为，是内积空间在该基下度量矩阵。是内积空间在该基下度量矩阵。A伴随伴随变换在该基下对应矩阵为变换在该基下对应矩阵为，则有，则有注意到度量矩阵厄米性，有注意到度量矩阵厄米性，有，它还是正定矩阵，其，它还是正定矩阵，其逆矩阵存在，所以逆矩阵存在，所以 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第56页页（3）在正交基下，）在正交基下，G是单位矩阵，则有是单位矩阵，则有即伴随变换在任意正交归一基下对应矩阵是变换在此基下矩即伴随变换在任意正交归一基下对应矩阵是变换在此基下矩阵阵共轭转置矩阵共轭转置矩阵。（4）关于伴随矩阵运算性质）关于伴随矩阵运算性质 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第57页页二、二、自伴算子自伴算子在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是厄米矩阵厄米矩阵。2、性质、性质：（1）设）设A、B是自伴算子，则是自伴算子，则AB也是自伴算子。也是自伴算子。（2）A、B自伴，普通不能确保自伴，普通不能确保AB自伴，当且仅当自伴，当且仅当AB=BA时，时，A、B自伴确保自伴确保AB自伴。自伴。（3）若）若A自伴，则当且仅当自伴，则当且仅当是实数时，是实数时，自伴。自伴。1、定义：、定义：若若，则称，则称A是自伴。是自伴。若若，则称，则称A是反自伴。是反自伴。2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第58页页3、判定定理：、判定定理：定理定理1：若若A是实内积空间上自伴算子，则对任意是实内积空间上自伴算子，则对任意，有有充要条件是充要条件是证实：充分性：证实：充分性：因为因为时时必要性：必要性：注意到注意到A是实内积空间自伴算子，由定义有是实内积空间自伴算子，由定义有考查下面内积：考查下面内积：所以所以假如内积空间是复，上述定理假如内积空间是复，上述定理能够加强能够加强 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第59页页定理定理2：若若A是酉空间上线性变换，则对全部是酉空间上线性变换，则对全部，充要条件是充要条件是。即若即若A是内积空间中自伴变换，（不论是实空间还是复空间）是内积空间中自伴变换，（不论是实空间还是复空间）对全部对全部，充要条件是充要条件是.定理定理3：设设A是酉空间线性变换，则对全部是酉空间线性变换，则对全部，为实数充要条件是为实数充要条件是A为厄米变换。为厄米变换。定理定理4：厄米变换本征值是实。厄米变换本征值是实。证实：证实：即即对厄米变换对厄米变换总是实总是实。由定理由定理3结论得证结论得证 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第60页页例：例：给定给定g(x),求在区间求在区间中满足中满足解：这是一个边值问题，对它算子为解：这是一个边值问题，对它算子为在区间在区间内，全部函数内，全部函数g空间是空间是L值域。值域。L定义域在该区间内函数定义域在该区间内函数f空间。空间。这些函数满足边界条件，且在这些函数满足边界条件，且在L值域内含有二阶导数。如无适值域内含有二阶导数。如无适当边界条件，则方程解不惟一，即，要由微分算子及其定义当边界条件，则方程解不惟一，即，要由微分算子及其定义域二者来确定算子。域二者来确定算子。f(x)。并求该微分算子伴随算子。并求该微分算子伴随算子。适合用于此问题一个内积是适合用于此问题一个内积是 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第61页页注意内积要求不惟一，在上式积分中加上注意内积要求不惟一，在上式积分中加上w(x)0权重数也是权重数也是可采取内积。不过伴随算子依赖于内积，所以能够选定内积，可采取内积。不过伴随算子依赖于内积，所以能够选定内积，使其成为自伴算子。使其成为自伴算子。依据定义，先结构伴随算子左边，有依据定义，先结构伴随算子左边，有最终两项是边界项，能够选择最终两项是边界项，能够选择定义域使它们为零。由边定义域使它们为零。由边界条件知，界条件知，2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第第62页页则第二个边界项也为零。显然，对于由式则第二个边界项也为零。显然，对于由式确定内积，从伴随算子定义式知，确定内积，从伴随算子定义式知，伴随算子为：伴随算子为：2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子因为因为，且，且定义域与定义域与L定义域相同，所以算子定义域相同，所以算子是自伴。因为当是自伴。因为当f 是实数时，是实数时，Lf 也是实数，也是实数，L是实算子，是实算子，能够证实，由能够证实，由知算子知算子L也是正定算子。即使也是正定算子。即使f 是复数，是复数，L也是也是正定算子正定算子*。第第63页页所谓正定算子是指所谓正定算子是指 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子则算子为则算子为正定正定。上式中大于换成大于等于则算子是。上式中大于换成大于等于则算子是半正定半正定。若换为小于则算子为若换为小于则算子为负定负定。*正定算子正定算子当给出一个形式为当给出一个形式为L(f)=g 问题。问题。解特征依赖于算子特征，假如解特征依赖于算子特征，假如f是实数是实数,Lf也是实数，则算子为也是实数，则算子为实算子。实算子。第第64页页 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子逆算子能够由标准格林函数法得到，它是逆算子能够由标准格林函数法得到，它是式中式中G是格林函数，即是格林函数，即组成组成后，微分两次便能够得到后，微分两次便能够得到(1)这么就证实了式这么就证实了式(1)是逆算子。注意到在是逆算子。注意到在定义域中不需要定义域中不需要边界条件，这是大多数积分算子共同特点。从边界条件，这是大多数积分算子共同特点。从L是自伴证实是自伴证实一样能够得出一样能够得出也是自伴。类似也能够得出，只要也是自伴。类似也能够得出，只要L是正是正定，定，也是正定。也是正定。第第65页页例：量子力学中简谐振子哈密顿算子为：例：量子力学中简谐振子哈密顿算子为：2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子证实它本征值是正。证实它本征值是正。证实：令证实：令其中本征向量其中本征向量u是归一化，即是归一化，即因为因为p和和x均是厄米，故均是厄米，故第第66页页定义：定义：设设U是内积空间上线性变换，是内积空间上线性变换，为为U伴随变换，假如伴随变换，假如则称则称U为等距变换。若同时满足为等距变换。若同时满足则称它为则称它为酉变换或么正变换酉变换或么正变换。在有限维空间，变换有左逆必有右逆，所以等距与么正是等在有限维空间，变换有左逆必有右逆，所以等距与么正是等价，么正变换逆变换是它伴随变换，即价，么正变换逆变换是它伴随变换，即（单位变换）（单位变换）2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换一、等距变换定义一、等距变换定义第第67页页二、等距变换特征二、等距变换特征定理定理1、设设U是内积空间上线性变换，则以下三个条件是彼是内积空间上线性变换，则以下三个条件是彼此等价，每一个都能够作为等距变换定义：此等价，每一个都能够作为等距变换定义：定理定理2、对有限维内积空间，一个完备正交归一集、对有限维内积空间，一个完备正交归一集，经，经等距变换后集合等距变换后集合仍是完备正交归一集。仍是完备正交归一集。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换第第68页页因为一个变换因为一个变换A伴随变换在正交归一基下对应矩阵是伴随变换在正交归一基下对应矩阵是A在在同一基下对应矩阵共轭转置，故等距变换在正交归一基下对应同一基下对应矩阵共轭转置，故等距变换在正交归一基下对应矩阵也满足等距变换和酉变换定义式，即矩阵也满足等距变换和酉变换定义式，即，把满足该式矩阵，把满足该式矩阵U称为称为酉矩阵酉矩阵。所以，在有限维空间酉变换。所以，在有限维空间酉变换等价定义是：等价定义是：假如内积空间上线性变换假如内积空间上线性变换A在任一正交归一基下对应矩阵在任一正交归一基下对应矩阵都是酉矩阵，便称它为都是酉矩阵，便称它为酉变换酉变换。2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换三、酉矩阵和酉变换三、酉矩阵和酉变换第第69页页显然显然实内积空间上酉变换就是正交变换实内积空间上酉变换就是正交变换。不过在复内积空间，。不过在复内积空间，二者是不一致，酉变换在标准正交基下矩阵是酉矩阵。二者是不一致，酉变换在标准正交基下矩阵是酉矩阵。定义定义2：设线性变换设线性变换A在正交归一基下对应矩阵为在正交归一基下对应矩阵为，假，假如如即即转置矩阵等于其逆矩阵，则说变换转置矩阵等于其逆矩阵，则说变换A是是正交变换正交变换。2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换四、正交变换四、正交变换第第70页页定义定义：当且仅当：当且仅当时，称时，称A为为正规变换正规变换（或（或法式变换）法式变换）显然，全部自伴变换、反自伴变换和酉变换都是正规变换。显然，全部自伴变换、反自伴变换和酉变换都是正规变换。正规变换在正交基下对应矩阵正规变换在正交基下对应矩阵满足满足这么矩阵称为这么矩阵称为正规矩阵正规矩阵。2 线性空间线性空间 2.8正规变换本征值与本征向量正规变换本征值与本征向量一、正规变换定义一、正规变换定义第第71页页证实：证实：设设和和分别为自伴变换分别为自伴变换A任一本征值和对应本任一本征值和对应本征向量，则征向量，则即即，所以，所以为实数。同理，对反自伴变换，可证为实数。同理，对反自伴变换，可证，即，即为虚数。对等距变换，为虚数。对等距变换，二、本征值特征：二、本征值特征：（1）自伴变换本征值为实数。）自伴变换本征值为实数。（2）等距变换本征值模为）等距变换本征值模为1。（3）反自伴变换本征值为纯虚数。）反自伴变换本征值为纯虚数。2 线性空间线性空间 2.8正规变换本征值与本征向量正规变换本征值与本征向量本征向量本征向量本征值本征值第第72页页三、本征向量特征三、本征向量特征定理定理：假如：假如A是正规线性变换，则属于不一样本征值本征向是正规线性变换，则属于不一样本征值本征向量是正交。量是正交。能够证实：若能够证实：若x 是正规变换本征向量，是正规变换本征向量，是对应本征值，则是对应本征值，则x也是其伴随变换本征向量，对应本征值为也是其伴随变换本征向量，对应本征值为反之亦然。反之亦然。2 线性空间线性空间 2.8正规变换本征值与本征向量正规变换本征值与本征向量若若A正规时，有正规时，有显然当显然当A正规，正规，也正规，将也正规，将A换成换成，即，即第第73页页设设分别是分别是A是属于是属于本征向量本征向量，则，则 2 线性空间线性空间 2.8正规变换本征值与本征向量正规变换本征值与本征向量即即若若则必有则必有由该定理知，由该定理知，n维空间正规变换，假如含有维空间正规变换，假如含有n个相异本征个相异本征值，则对应本征向量集合是一个正交集，且是完备。值，则对应本征向量集合是一个正交集，且是完备。第第74页页四、正规矩阵对角化四、正规矩阵对角化若若A是一个含有非简并谱正规矩阵，则必存在酉矩阵是一个含有非简并谱正规矩阵，则必存在酉矩阵U，使，使A经过酉相同变换对角化。即经过酉相同变换对角化。即其中其中D是以是以An个本征值为