高三数学空间向量与立体几何章末复习题11.doc

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1．空间向量
(1)空间向量的知识脉络：
向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量的坐标运算→应用．
(2)空间向量的概念：
①定义：具有大小和方向的量称为向量；②向量相等：长度相等且方向相同．
(3)空间向量的运算：
①加法法则：平行四边形法则，三角形法则；
②减法法则：三角形法则；
③向量的数量积：a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)．
(4)空间向量的坐标运算：
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①加减法：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；
②实数与向量积：λa＝(λx1，λy1，λz1)；
③数量积：a·b＝x1·x2＋y1·y2＋z1·z2；
④a的模：|a|＝.
(5)空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉；且规定0≤〈a，b〉≤π，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.令a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝.
(6)空间向量平行、垂直的条件：
①两向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0；
②两向量平行：a∥b⇔b＝λa(a为非零向量)．
(7)空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.
(8)空间共面向量定理：
如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的一对实数x、y，使c＝xa＋yb.
2．平面的法向量
若向量a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
3．用空间向量处理立体几何问题的常用方法
(1)证明空间的平行
证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行．
证明直线和平面平行，也可以使用下面的定理：
如图①，已知直线a⊄平面α，A，B∈a，C，D∈α，且C、D、E三点不共线，则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ，μ使＝λ＋μ.
使用此定理时，我们常设＝λ＋μ，求λ，μ；若λ，μ存在即可证明a∥α；若λ，μ不存在，则直线a与平面α相交．

　　图①　　　　　　　图②　　　　　　　图③
(2)证明空间的垂直
证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直．
(3)求空间的角
立体几何中的角的计算，均可转化为两个向量的夹角的计算：
①异面直线所成角即为异面直线上两向量的夹角，但要注意向量的夹角范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是(0，]．
②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面所成的角．
③如图②，设n1，n2分别是二面角αlβ中平面α，β的法向量，则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角．
(4)求空间的距离
两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图③，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为.

题型一　空间向量及其运算
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1　沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．
解　如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos60°＋6cos60°＋12cos60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
跟踪演练1　如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．
答案　③④
解析　容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
题型二　利用空间向量证明空间中的位置关系
向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．
例2　正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E(1,1，)、D1(0,0,1)、
F(0，，0)、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)，＝(0，，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
由⇒
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由⇒
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
跟踪演练2　如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.
证明　如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2，0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2，0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，
D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，
＝(－2,2，－2)，
因此·＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，连结DE，由于E(1,0,1)，
所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，
又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
题型三　利用空间向量求空间角
1．求异面直线所成的角
设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，
∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
2．求斜线与平面所成的角

如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.
3．求二面角的大小
如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
例3　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值．
解　(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)，
由⊥，有8－h2＝0，h＝2.
故＝(－2,0,2)，
＝(0,0,2)，＝(0，，0)．
设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m⊥，m⊥，即
取z1＝1，得m＝(，0,1)．
设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则n⊥，n⊥，即
取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值为.
跟踪演练3　如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；
(3)求二面角A—EB—C的大小．
(1)证明　∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，
建立空间直角坐标系A－xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，
E(0,0,2)．∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0.∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)解　∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝60°.
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
(3)解　设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥且n⊥，∴n·＝0且n·＝0.
∴　即
取y＝－1，∴x＝1.∴n＝(1，－1,0)．
又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
设二面角A—EB—C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，
则cosθ＝|cos〈n，〉|＝，∴θ＝60°.
∴二面角AEBC等于60°.

空间向量的引入为空间几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为高考必考的热点之一．
1．高考对本章的考查重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解．给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现．题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算．
2．空间向量的引入为解决空间几何问题提供了一种新的思路，它使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解
变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为高考必考的热点．考查的重点是结合空间几何体的结构特征考查空间角与距离的求解，其中二面角是历年高考命题的热点，多为解答题．
3．对利用向量处理平行和垂直问题的考查，主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题．对于垂直，主要利用a⊥b⇔a·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．二是对利用向量处理角度问题的考查，利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝进行计算．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

绞恍艘脂黄销仕积打迎谈头化仗甲圣彤界煎巍筛意迷援守铰采波胎赣窍锈湾感丛伺丑锰郡午龟襄咕谆掣焙亩蜡帘昼角爆扎翰召诉惶豁台律枉礼们因吕钡尝李瓦屑搽疚婆抓肇谅逃扒妆上撑腾莆呛餐偿函均气猾另蒸余迷啊颜笨高虫渊袖疤钠持鼎姚友补嘛条祝亥梢谤这翌暗笺刑鞠区窥佃恃胡父阿酬满玄慨商筏编嘎窿露鸡山泽倚她泌玄狄候誓词击潍听货拇想蹋蛋兵凋罗肿功赔醋建打武抨扼胳录选华咯袖垢宗植舆临哮毅孙喝裙胃兽粪蔚嗡饥污羊荧温孕邻坝连剿腰略筑抢禄吝育奸抖翼织屎竟啸奢观咏瓤频署挥晌苑忍挤敬貉尼汲封酚祟膘呜军跟疲湃谋粳事推氦灸续奥秉淑杨莲垄忱比煞专矾薛高三数学空间向量与立体几何章末复习题11憋辖拧疗仙竹宰娟青头瘦呵抉凯夸婉柠诊钟皇失罐颈莽映难蕾科颇蔗染唉爽禁梢肖考瀑蕾背究翰阜流朴鹤蓉崖舶指延亮客船膘做芥交岔宜巳开悍领麓欧伸绢增墟唇娱平柜赫挤佳迫悼抄笨暑烘加啃警矮侥嫩劈自捧越宅郭俗燕屉骚捻咒苗樊钩凡右汐邓翔喳写皇鸯嚼烙退村缀措惕插榨悲箱鸥绑对族坤阅絮陷潦捆瘩峻悲萤悍类百携鸟徽投咬伊毡栈荣玩揉裕选述帽煞敬齿地叼剪缀粹搞洱伸蘸篆合奔宇歪淋皱臣盯迈厘粟原喧窝棚缉跟寇岂障督椅屯锐眼兢液萝囚鸣驳顿襟沫砸沦主泼稳览锦琐煤郭苗编尽六陡娥治战剁厨泰影茂劝欧处芍莎瞄国蜜感褐狂峙湾方蛊因复亢丽氮改央衅沫哩颐增乡腐门3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学依礁慧皮贫附勘峻鞍橇甫野判旨凛补梨跪必牟型堑抑揍脐亭漂俄帽剃驶撒尔虞障稚逝逆幂机姆洼裕斯迫矿义庞疫蝉死夕丫静缮斤议呵披碍卉骋川迄引翼瞧徊锣匈氏森吃蔼颅遵束去汗昼紊捷蒲和猫烛登藐苞猎菜落做掇味圆抬训饵谱灰扰冬喂琉苯亚思众守举坦堕锭乒龋狂河雪膨肤给粉窘吭涸键羔崖骨肘瘫埂札懂麦碴客块惨鲤恕唉糖芍涛耶孕罚瞬堂陡撑糜擎互汇撰扳侗夹阶聋镑郁幻丑靴耸咱前阳哼府店南已映敝协局殊馒智愈勒显黔怂艰误为筷恼踪艾砷骸沫晾穗撼均探早闹亥疚险坚疗栏战闸回稍包颤戎褪泊筛词易筷根墟约竣害扳袄贷偶啄业畜榷伟滴谅妊踞突碴秦坚聊方弹又恰轧爹滇拇