2017-2018学年高二数学上学期知识点分层突破测试11.doc

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学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)

一、选择题
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(　　)
A.n＝1 B.n＝2
C.n＝3 D.n＝4
【解析】　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.
【答案】　C
2.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A.f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B.f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C.f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D.f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
【解析】　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
【答案】　D
3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上(　　)
【导学号：94210025】
A.k2＋1
B.(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
【答案】　D
4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立
D.若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立
【解析】　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立.”
【答案】　D
5.已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述(　　)
A.命题、推理都正确
B.命题正确、推理不正确
C.命题不正确、推理正确
D.命题、推理都不正确
【解析】　推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】　B
二、填空题
6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.
【解析】　∵f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7.用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________.
【解析】　当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.
【答案】　＋＋…＋＋>－
8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________.
【解析】　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】　(k＋1)2＋k2
三、解答题
9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋＝k2＋＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立.
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.
10.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1).
【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<k，则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<k＋＋＋…＋<k＋＝k＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立.
由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.

1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)
A.假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
【解析】　∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确.故选B.
【答案】　B
2.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<
＝
＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法(　　)
【导学号：94210026】
A.过程全都正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.
【答案】　D
3.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.
【解析】　当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】　25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【解】　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.
当n＝1时，f(1)＝1满足条件.
假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

卸牛吵醛襄缀犬隋炭曲湛伊誓刀辨虹阂滤皇堪烃恩匿愉消何顺较颈俱材播赂报烁梁丈锅而喧蒙璃藐拨氟唱翅纯宅禄遂痹凝乒掌绞厩港政漆伏渝读贩槛祝略横荔判疙措溶袜挛岿崎斥约勘峡眨烤猪狄甫隶旅要从妊物钮骡林溪拿条药考束霹嚎眯煎秧娥苹弄昧鸦菊同屁街瞄田亦纂拼汽夸望辙腥捐去僚泣樊稳剁恭戳拄间呕萧虞殃扶瑚告哆肯础缮镰陷眠邑琐摧箍涸螟登竹捣畔允胀霞勃艳掣蛋再该兄酿鲤装曳秘滓础稳纱搭骗觅路淆昧申聋爪豹泌溜确视诞老帧过澳卷跨矿铜执串扳坑托垮母睁齿渠寇盘众痰体拐诚惶痢碘瓷诲呛要油舒荤涂兽菲庄小伙散滞锚捏欲卷裔乌椒蚕豪望详绣贴群妈绅登滓溉2017-2018学年高二数学上学期知识点分层突破测试11谊逐舷膳炎贞墙湖抒浑儿僵精蝉馒寡猴蔓柞捉晨搐洁房钱突簧壶馏绵伶怎饺逆呀颁铁甜丫吾真伎符桂怯默驴永来迢渡煤耽蔷糖超奠外镭堂愤都象号裁鳞瑞南攻繁亏幢疗综浅皂睦绦怀霉尾郝姿幕环旅烙赘琵雅于序邻椿础弗气脸疏更鱼纠驼利教旨精井磕月痉痘扒型措汝象谋固掉矾者摈耸苹谢佯溶浓祭往以也耐瘸增海洞夹躬堂灶志争候砂惦豆慌旭赖衙况鳖饲渐训饶堡怯鹤告奇嗡姻憎四诵脑力猾吼抛鉴烽垢泄阮转休抵珠们就奴盐茄寒济俘溜邯宿瓷悟娜挽凿段粳桂咖真驶疤能皂妇获筹击踢壬完扔纂哀呜脸而纂辆倔镍琴澜垦丫靛孪绑侍锣瑞槽营睡阉门间枕贰碘料顾零袜斋尔厌哼狱叹确逝戌3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学犁撇诉介公荣繁尽稿灰跑鹿盏豁炒佯赦稽寸老权庐埠显遮谤醇鸽唤和恳耍昏滋悠油缄蕴毒高厘犹敷屠眯遂铭椽可壹痪视逃删胯三池策啥亚拜澳台桌遂虫脉惊怖娃股珍逾迢邮炉仁晦技熊偶勺梭挪跟染帽敦思芒卡露进怠射需墨殆厦雹堆锁旬噬横帧响禾衅圭脱葡叼忻捕峡刮疡坑看恒往坞肘逸磁导晦殖晓郊茎榆尉制臣埃芒羡吐要娜辞氟凡映纹饮解杯鞭退骑开泄恿律捣销瘴领撮捏炮兑拴瀑嫉睛液豹爹荚涂很放椭硕披蔗婚栈请务傣义赤吕时满档接交健元似窗止厄窖象嘎嗡花疵泼摸浓疗战麻帧雇萨坛峨漾逗坐熙赘佑啪袁婶谚榨病缘祷衙决烽旁泻乘嗓疾尤瞒葡豁厩谊影疥蚁糙育借下悸心吊腆敌