江苏省扬州市2016届九年级数学上册期末考试题1.doc

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江苏省扬州市梅岭中学2015届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正切值（　　）
A．也扩大2倍 B．也缩小2倍 C．不变 D．扩大1倍

2．用配方法解方程x2﹣2x=2，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2=3 B．（x﹣1）2=3 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7

3．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1

4．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2

5．下列各组图形不一定相似的是（　　）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形

6．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

7．如果给定数组中每一个数都加上同一个非零常数，则数据的（　　）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．平均数改变，方差不变 D．平均数不变，方差改变

8．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3

二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．方程x2﹣2x=0的根是　　　　　　．

10．如果，那么锐角A的度数为　　　　　　．

11．二次函数y=2x2+8x﹣10的图象与x轴的交点坐标是　　　　　　．

12．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣2x﹣3上的两点，则y1　　　　　　y2．（用“＞”或“＜”填空）．

13．两个相似三角形的面积比为9：16，则它们的周长之比为　　　　　　．

14．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为　　　　　　．

15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为　　　　　　．

16．某校2016届九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为　　　　　　．

17．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，当m=　　　　　　时，y1=y2．

18．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为　　　　　　．

三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：20140+（）﹣1﹣sin45°+tan60°；
（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．

20．已知：二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．
（1）求a的值；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．

21．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）：
甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41
乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23
小强用如图所示的方法表示甲城市16台自动售货机的销售情况．

（1）请你仿照小强的方法将乙城市16台自动售货机的销售情况表示出来；
（2）用不等号填空：甲　　　　　　乙；S甲2　　　　　　S乙2；
（3）请说出此种表示方法的优点．

22．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐三种卡片可获奖，现购买该种食品3袋，能获奖的概率是多少？

23．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=，求AC的长和tanA的值；
（2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（结果保留根号）

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点B（0，），与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为（，0），求⊙A的半径及点N的坐标．

26．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．

27．已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

28．如图，抛物线y=mx2+3mx﹣3（m＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．

江苏省扬州市梅岭中学2015届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正切值（　　）
A．也扩大2倍 B．也缩小2倍 C．不变 D．扩大1倍
【考点】锐角三角函数的增减性．
【分析】根据正切的定义即可求解．
【解答】解：设Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则tanA=；
将Rt△ABC各边的长度同时都扩大2倍，得到Rt△A′B′C′，则A′B′=2c，B′C′=2a，A′C′=2b，
∴tanA′==；
∴tanA′=tanA．
故选C．
【点评】本题主要考查了正切的定义：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．

2．用配方法解方程x2﹣2x=2，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2=3 B．（x﹣1）2=3 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】方程两边加上1，变形即可得到结果．
【解答】解：两边加上1，得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3．
故选B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

3．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

4．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．

5．下列各组图形不一定相似的是（　　）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
【考点】相似图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
C、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似；
D、各有一个角是45°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是45°，而另一个等腰三角形的顶角是45°，则两个三角形一定不相似．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．

6．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题．
【分析】连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．

【点评】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．

7．如果给定数组中每一个数都加上同一个非零常数，则数据的（　　）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．平均数改变，方差不变 D．平均数不变，方差改变
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个非零的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案．
【解答】解：一组数都加上同一个非零常数后，平均数变大，
一组数都减去同一个非零常数后，平均数变小，
则一组数都加上或减去同一个非零的常数后，平均数改变，但是方差不变；
故选：C．
【点评】本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．掌握平均数和方差的特点是本题的关键．

8．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意可知，当x=0时，函数y=ax2+2x﹣5=﹣5；当x=1时，函数y=a+2﹣5=a﹣3．因为关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，所以得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：依题意得：
当x=0时，函数y=ax2+2x﹣5=﹣5；
当x=1时，函数y=a+2﹣5=a﹣3．
又关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），
所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，
所以y=a﹣3＞0，
即a＞3．
故选B．

【点评】主要考查了一元二次方程和二次函数之间的关系，要会利用二次函数的模型来解决有关一元二次方程的问题．

二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．方程x2﹣2x=0的根是　x1=0，x2=2　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

10．如果，那么锐角A的度数为　30°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据30°角的余弦值等于解答．
【解答】解：∵cosA=，
∴锐角A的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．

11．二次函数y=2x2+8x﹣10的图象与x轴的交点坐标是　（﹣5，0），（1，0）　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程2x2+8x﹣10=0即可得到抛物线与x轴的交点坐标．
【解答】解：当y=0时，2x2+8x﹣10=0，
解得：x1=﹣5，x2=1，
所以二次函数y=2x2+8x﹣10的图象与x轴的交点坐标是（﹣5，0），（1，0）．
故答案为（﹣5，0），（1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程的解法；由抛物线与x轴的交点得出方程是解决问题的关键．

12．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣2x﹣3上的两点，则y1　＞　y2．（用“＞”或“＜”填空）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点P、Q的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．
【解答】解：x=﹣2时，y1=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3=4+4﹣3=5，
x=﹣1时，y2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣3=1+2﹣3=0，
∵5＞3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．

13．两个相似三角形的面积比为9：16，则它们的周长之比为　3：4　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，
∴它们的相似比为3：4，
则它们的周长比为3：4，
故答案为：3：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

14．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为　　．

【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】先在∠AOB的两边上找出两点C、D，使△DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sin∠AOB的值．
【解答】解：由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形，
设正方形网格的边长为1，则CD=2，OD=1，OC===，
由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB===．
故答案为：．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在∠AOB的边上找出两点使△DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键．

15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为　5π　．

【考点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°﹣∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式l=来求的长．
【解答】解：如图，连接OD．
根据折叠的性质知，OB=DB．
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∵∠AOB=110°，
∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°，
∴的长为=5π．
故答案是：5π．

【点评】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．

16．某校2016届九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为　x（x﹣1）=1640　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=1640，
故答案为：（x﹣1）x=1640．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．

17．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，当m=　1.5　时，y1=y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据表中的对应值得到x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的解析式为直线x=2，由于y1=y2，所以A（m，y1），B（m+1，y2）是抛物线上的对称点，则2﹣m=m+1﹣2，然后解方程即可．
【解答】解：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2，
∴抛物线的解析式为直线x=2，
∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，y1=y2，
∴2﹣m=m+1﹣2，
解得m=1.5．
故答案为1.5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

18．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为　﹣6　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，则∠BDO=∠ACO=90°，∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴=（）2=（tanA）2=3，
又∵S△AOC=×2=1，
∴S△OBD=3，
∴k=﹣6．
故答案为﹣6．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．

三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：20140+（）﹣1﹣sin45°+tan60°；
（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质以及特殊角的三角函数值化简各数进而得出答案；
（2）利用配方法解方程得出答案．
【解答】解：（1）20140+（）﹣1﹣sin45°+tan60°
=1+2﹣×+
=2+；

（2）x2﹣2x﹣2=0
配方得：（x﹣1）2=3
直接开平方得：x1=1+，x2=1﹣．
【点评】此题主要考查了配方法解方程以及实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．已知：二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．
（1）求a的值；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【分析】（1）根据二次函数图象开口向上判断出a＞0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：（1）∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵函数图象经过原点O（0，0），
∴a2﹣1=0，
解得a1=1，a2=﹣1（舍去），
∴a=1；

（2）y=x2﹣3x
=x2﹣3x+﹣
=（x﹣）2﹣，
故抛物线顶点坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及三种形式的转化，熟记性质并熟练掌握配方法的操作是解题的关键．

21．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）：
甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41
乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23
小强用如图所示的方法表示甲城市16台自动售货机的销售情况．

（1）请你仿照小强的方法将乙城市16台自动售货机的销售情况表示出来；
（2）用不等号填空：甲　＜　乙；S甲2　＞　S乙2；
（3）请说出此种表示方法的优点．
【考点】方差；算术平均数．
【分析】（1）将数的十位作为一个主干（茎），将个位数作为分枝（叶），画出茎叶图即可；
（2）根据平均数和方差的计算公式分别进行计算即可；
（3）从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从统计图中得到；二是统计图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
【解答】解：（1）根据小强的方法将乙城市16台自动售货机的销售情况如图所示：

（2）∵甲=（18+8+10+43+5+30+10+22+6+27+25+58+14+18+30+41）÷16=，
乙=（22+31+32+42+20+27+48+23+38+43+12+34+18+10+34+23）÷16=，
∴甲＜乙；
把给出的数据代入计算可得：S2甲＞S2乙，
则甲的平均数小于乙的平均数．甲的方差大于乙的方差．
故答案为：＜，＞．
（3）此种表示方法的优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从统计图中得到；二是统计图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
【点评】此题考查了方差，用到的知识点是算术平均数、方差和茎叶图的表示方法，关键是根据给出的茎叶图找出规律，画出图形．

22．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐三种卡片可获奖，现购买该种食品3袋，能获奖的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可知此题需三步完成，所以采用画树状图法求解较简单；首先画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：分别用卡1、卡2、卡3表示3张卡片，用“树状图”列出所有可能的结果：

∵从树状图可以看出，一共有27种可能的结果，并且它们都是等可能的．
又∵“集齐三种卡片”记为事件B，它的发生有6种可能，
∴事件B的概率，
即集齐三种卡片的概率是．
【点评】本题考查的是画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．

解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28，x=×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=，求AC的长和tanA的值；
（2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得DB=DA=15，再根据余弦的定义得到cos∠BDC==，则DC=12，根据勾股定理可计算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根据正切的定义求解；
（2）设AD=t，则DB=t，在Rt△DCB中根据含30°角的直角三角形的性质得到BC=t，DC=t，再证明∠A=15°，然后根据正切的定义即可求出tan15°=tanA====2﹣．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
∵在Rt△DCB中，cos∠BDC==，
∴=，
∴DC=12，
∴BC==9．
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA===；

（2）设AD=t，则DB=t，
∵在Rt△DCB中，∠C=90°，∠BDC=30°，
∴BC=t，DC=t，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠A=∠ABD=15°．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=AD+DC=t+t=（1+）t，
∴tan15°=tanA====2﹣．

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及锐角三角函数的定义．求BC的长度时，利用“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”求得BD的长度是解答（1）的关键所在．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点B（0，），与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为（，0），求⊙A的半径及点N的坐标．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，由切线的性质得出AB⊥y轴，由题意得出AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得出方程，解方程求出R，得出CM，得出ON的长即可．
【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，如图所示：
设⊙A的半径是R，
∵⊙A与y轴相切于B，
∴AB⊥y轴，
∵点B（0，），与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为（，0），
∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，
由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，
解得：R=2.5，即⊙A的半径为2.5；
∴CM=CN=2.5﹣=2，
∴ON=+2+2=4，
即N的坐标是（4，0）．

【点评】本题考查了切线的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握切线的性质，由勾股定理得出方程求出半径是解决问题的关键．

26．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）如图，连结OD．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED；
（2）求出AE，证△AED∽△DEB，求出DE，解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为4，AB=AC，
∴AC=AB=4+4=8，
∵BE=2，
∴AE=8﹣2=6，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠DAE=∠BDE，
∵∠AED=∠BED，
∴△AED∽△DEB，
∴=，
∴=，
解得：DE=2，
在Rt△BED中，tanB===，
∴∠B=60°，
∴∠CDF=∠EDB=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．

【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形性质和判定，解直角三角形，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，注意：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

27．已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

【考点】旋转的性质；三角形的面积；角平分线的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为M、N，由四边形内角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，则∠EPF=∠APB，可证∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，可证△EPA≌△FPB，得出结论；
（2）由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=（180°﹣∠APB）=∠MON=∠BOP，可证△PBC∽△POB，由S△POB=3S△PCB可知，PO=3PC，再利用相似比求解；
（3）作BH⊥OT，垂足为T，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度数为75°，从而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，则∠BPO=45°，分别解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP．
【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠A