2015届高考数学第一轮基础巩固训练题37.doc

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第2讲　一元二次不等式及其解法
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·长春调研)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则 (∁RP)∩Q＝ (　　)．
A．[2,3]　　 B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．(2,3]　　 D．(＋∞，－1]∪(3，＋∞)
解析　依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1＜x≤3}，则(∁RP)∩Q＝(2,3]．
答案　C
2．(2014·沈阳质检)不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．[－4,4]　　 B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)　　 D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析　不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4，故选D．
答案　D
3．(2013·咸阳模拟)已知f(x)＝则不等式f(x)<f(4)的解集为 (　　)．
A．{x|x≥4}　　 B．{x|x<4}
C．{x|－3<x<0}　　 D．{x|x<－3}
解析　f(4)＝＝2，不等式即为f(x)<2.
当x≥0时，由<2，得0≤x<4；
当x<0时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.
综上，x<4.故f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．
答案　B
4．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是 (　　)．
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D．∪
解析　由题意知－，－ 是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
答案　A
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图像可以为(　　)．

解析　由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图像与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图像开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．
答案　B
二、填空题
6．已知关于x的不等式＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.
解析　由于不等式＜0的解集是(－∞，－1)∪，故－应是ax－1＝0的根，∴a＝－2.
答案　－2
7．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析　不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin2 α－cos 2α≤0，即4sin2 α≤1，所以sin2 α≤，即－≤sin α≤，因为0≤α≤π，所以0≤α≤或≤α≤π，即α的取值范围是∪.
答案　∪
8．(2014·福州期末)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________.
解析　原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.
答案　[－4,3]
三、解答题
9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得：x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－＞，解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
10．(2014·长沙质检)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解　法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围是[－3,1]．
法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2013·新课标全国Ⅱ卷)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，＋∞)　　 B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)　　 D．(－1，＋∞)

解析　不等式2x(x－a)＜1可变形为x－a＜x，在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝x的图像，由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a＜1，所以a＞－1.
答案　D
2．(2013·西安二模)在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为 (　　)．
A．－　　 B．－　　
C.　　 D．
解析　原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝2－≥－，所以－≥a2－a－2，－≤a≤.故选 D．
答案　D
二、填空题
3．(2014·铜陵一模)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．
解析　由题意知a＜0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－＜1，
∴a＞－4，故－4＜a＜0.
答案　(－4,0)
三、解答题
4．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解　(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
因为方程②有两个相等的根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，
得f(x)＝－x2－x－.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a<0，可得f(x)的最大值为－.
由解得a<－2－或－2＋<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是
(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．

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