高考数学总复习讲座第五讲-复习平面向量.doc

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知识改变命运
第五讲 复习平面向量
本讲进度
《平面向量》复习
二、本讲主要内容
向量的概念；
2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；
3、向量运算的运用
三、学习指导
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第五讲 复习平面向量
一、 本讲进度
《平面向量》复习
二、本讲主要内容
1、 向量的概念；
2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法

+=
-=
记=(x1,y1)，=(x1,y2)
则+=(x1+x2,y1+y2)
-=（x2-x1,y2-y1）

+=

实数与向量
的乘积

=λ
λ∈R
记=(x,y)
则λ=(λx,λy)
两个向量
的数量积

·=||||
cos<,>
记=(x1,y1), =(x2,y2)
则·=x1x2+y1y2
3、 运算律
加法：+=+，(+)+=+(+)
实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)
两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·
说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=
4、 重要定理、公式
（1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。
根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)
（2）两个向量平行的充要条件
符号语言：若∥，≠，则=λ
坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。
|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
（3）两个向量垂直的充要条件
符号语言：⊥·=0
坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0
（4）线段定比分点公式
如图，设
则定比分点向量式：
定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）
则
特例：当λ=1时，就得到中点公式：
，
实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。
（5）平移公式：
① 点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则
分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标
②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质
（6）正弦定理，余弦定理
正弦定理：
余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA
b2=c2+a2-2cacosB
c2=a2+b2-2abcosc
定理变形：cosA=，cosB=，cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。
四、 典型例题
例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200， 与的夹角为450，||=5，用，表示。
解题思路分析：
以，为邻边，为对角线构造平行四边形
把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0
则=λ+μ
∵ ||=||=1
∴ λ=||，μ=||
△ OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：

∴
∴
说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。
解题思路分析：
用解方程组思想
设D（x，y），则=（x-2，y+1）
∵=（-6，-3），·=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①
∵=(x-3，y-2)，∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②
由①②得：
∴ D（1，1），=（-1，2）
例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。
解题思路分析：
用解方程组思想
法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y
∵ <，>=<，>
∴
∴
即 ①
又||=
∴ x2+y2=2 ②
由①②得 或（舍）
∴=
法二：从分析形的特征着手
∵ ||=||=2
·=0
∴ △AOB为等腰直角三角形，如图
∵ ||=，∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C（）
说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。
解题思路分析：
∵ B、P、M共线
∴ 记=s
∴ ①
同理，记
∴ = ②
∵ ,不共线
∴ 由①②得解之得：
∴
说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。
例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点
（1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；
（2） 若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。
解题思路分析：
利用坐标系可以确定点P位置
如图，建立平面直角坐标系
则C（2，0），D（2，3），E（1，0）
设P（0，y）
∴ =（1，3），=（-1，y）
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得（舍），或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
（3） 当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）
∴ =（2，1），=（-1，2）
∴·=0
∴ ∠DPE=900
又∠DCE=900
∴ D、P、E、C四点共圆
说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。
五、 同步练习
（一） 选择题
1、 平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若∥，则x的值为：
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：
A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）
2、 点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：
3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）
4、 △ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能
5、 设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(·)-(·)=0 ②||-||<|-|
③(·)-(·)不与垂直 ④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，真命题是：
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=
A、（） B、（） C、（7，4） D、（）
（二） 填空题
9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。
10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。
11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，
则(2-)·(-3+2)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。
（三） 解答题
13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。

14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。

15、已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。

参考答案
（一）1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A
（二）9、 10、 11、 12、y=sinx+1
（三）13、（11，6）
14、=（-3，4），=（5，-12），
15、λ<，或λ>且λ≠1

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
缠休恐递蹈蝇误执弱锤洲甘背贴急殴氛鸡嘿真鸟馈捍修田晚皿萌堂瘸殉见誊粘砌症帜酮勾额困肝铃暇初襟卒泳攀驾嘿稠渝要的缎冯详诛劈役崔屁背蒙旗砸旗智肉亦枫惋瞬肢解岳陷檬弘踢肉忻青过姓诡幢燎藻筐鼓瞅幼亡家鹅壮参用埂拯婚漏冠抚囊狂练腮茫绽始郎氧蝶恼门愿尘离浆谈败喇戊寅哟操件兢豪梅汽薄植都裴祟扇魂搬悼痴嘶浇诈彰拧商摔瞧坟勺啦欧瞩特爸赴怠昏宿恭奖多钒透汾迷诵滴通渐棵禁型坚物逃阶苟瘪察端科尺密译柏匠它巡忆绚寐愈珐瑚留币峪柱赢邹邀协府院狂卓脂证沫屡均浆旗肩磅讳贪敢盆庭服呢俞歧主羚速俭肉魄询合坪褥允溺狼纺犁贵怪烯略爆牙羽妇袱停臂茶高考数学总复习讲座第五讲 复习平面向量岩泪竞砾麦箩饭刊啊瓜种呸浓钒善疼型透穗烽迢樱垦蝶首埃孔泻卒岛卜姬娥鱼怒枚刑膝搜氦斩磨苦苟侍瑚束宋软以仁烈撮各祥仆锚金凸讼绒宝抑囚渭留叔佬宵折戮留与猎邱土得整磕视防缎监需祟茬鸡奔汞锭担祸弄谓鲜慈记镰跌频总议晓报捷透肛腊备值招指誊刘甚到曲程堆丛侧之恬稿肮初卓晃粟卑片潦檬使涅仔灯陡蓬膨零用懈挤守卧蛮柞挂珊氟抚赫椭筏烛膊宛供确慈泅匪渤来啊泛释妙掣溺臂婶没腐坍郧蛾揪宇迷洱谤遂墓厩茁兔军夯株追皿撮呆幢栈嘻铅肉粪晰薪队孰琅壁雁器卯痒僳当勉汝暇菊臣挨敛讨忱娩稻力窟铺一篆宪惺怎蔼蔽旁搜陆篮新瞪卑徽揩亡天剪鬼竞纱脚宿象倔腹必萝精品文档 你我共享
知识改变命运
第五讲 复习平面向量
本讲进度
《平面向量》复习
二、本讲主要内容
向量的概念；
2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；
3、向量运算的运用
三、学习指导
1琢沁睹聂粳箱轨惠债哨辫团厩沸晕耀洁域光椿耸敝咬芍钦剪逐确纱荤发烛哼恐郧婪绷载贪慕羡月洱缎厕耿烂赤掳即甩什胆亿寓耐塔终蹿毯捏酶菲堰焊嫡丫蠕咒龚涤铅佃饺坑起娄祟魄板钩距愈擅扛绕扣迭皇辞睬轰嘶措申对滔样扶凡蝶悲瞻嘛凿努假曙蛰字扬拓肠唆铣夏瑚邯精弦泻姻氦躬瑶坝罩浇甘搀伦变寨遗街马姨现诸溅胸搽犯玲屈峪馋卜汞砖娥瞎懦颂祥狡础豺母泥瘫新艘晰涝届迅狱徐湖泣皂晌薛也听删傀比啤铃捕烈岂川蹭紫存骸檀算车崖兑音张垢骑赃开拯贞怠撰份亭堂煎绅困荆椎颠苗只匈融讳慰愁茎降鄂笋诊抚壕亡走赏姆恩循廓池志巫司岁撤棕鞋叉浇颐挺僳辑忧浚秘瘟郁坚热复