2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库55.doc

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第6讲 曲线与方程
一、填空题
1．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上， 则顶点C的轨迹方程是________．[来
答案 －＝1(x>3)
2． 点P到点(1,1)和到直线x＋2y＝3的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案 2x－y－1＝0
3．已知一条曲线在y轴的右方，它上面的每一点到点A(4,0) 的距离减去该点到y轴的距离之差都是4，则这条曲线的方程是________．
解析 由题意，曲线上每一点P到点A(4,0)与到直线l：x＝－4距离相等，所以曲线是 抛物线，方程为y2＝16x.
答案 y2＝16x
4． 过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点， 则AB中点M的轨迹方程为________．
答案 x＋y－1＝0
5． 有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为 正三角形，则点P的轨迹为________．
答案 双曲线
6．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．
解析　M为AQ垂直平分线上一点，则AM＝MQ，∴MC＋MA＝MC＋MQ＝CQ＝5，
由椭圆的定义知，M的轨迹为椭圆．
∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7．若△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
解析　如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案　－＝1(x>3)
8．方程|y|－1＝表示的曲线是________．
解析　原方程等价于
⇔
⇔或
答案　两个半圆
9．已知P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是______________．
解析　由＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1(a＞b＞0)．
答案　＋＝1(a＞b＞0)
10.已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析　设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
即
消去r得动点M满足的几何关系为d－d＝25，
即－＝25.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．
答案　(x＋1)2－y2＝65
二、解答题
11. 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
解　(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)．
由已知，得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，
即点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为AB＝＝＝ ＝.
12．抛物线C：y＝x2在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B，＝.当点P在C上移动时，点M的轨迹为D.
(1)求曲线D的方程；
(2)设直线l与曲线D的另一个交点为N，曲线D在点M、N处的切线分别为m、n直线m、n相交于点Q，证明：PQ平行于x轴．
解　(1)对y＝x2，求导，得y′＝2x.
设点P(x0，x)(x0≠0)，则直线l方程为
y－x＝2x0(x－x0)，
在l方程中分别令y＝0，x＝0，得A、B(0，－x)．
设M(x，y)，＝
即＝(－x，－x－y)，
由此得x0＝3x，x＝－3y，
消去x0，得曲线D的方程为y＝－3x2(x≠0)．
(2)将y＝－3x2代入直线l方程，并整理得
3x2＋2x0x－x＝0，
由(1)知，M，设N(x1，－3x)，则x1＝－，
x1＝－x0.对y＝－3x2求导，得y′＝－6x，
于是直线m、n的方程分别为
y＋＝－2x0和y＋3x＝6x0(x＋x0)，
即y＝－2x0x＋和y＝6x0x＋3x，
由此得点Q纵坐标为x，故PQ平行于x轴．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，
则由kOP＋kOA＝kPA，得＋＝，整理，得
轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1)．
(2)设P(x1，x)，Q(x2，x)，
由＝λ，可知直线PQ∥OA，则kPQ＝kOA，
故＝，即x2＝－x1－1，
直线OP方程为：y＝x1x. ①
直线QA的斜率为：＝－x1－2.
∴直线QA方程为：y－1＝(－x1－2)(x＋1)，
即y＝－(x1＋2)x－x1－1. ②
联立①②，得x＝－，∴点M的横坐标为定值－.
由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM，
∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，
由＝2，得x1＝1，∴P的坐标为(1,1)．
∴存在点P满足S△PQA＝2S△PAM，P的坐标为(1,1).
14．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后， 回运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地间的距离 为10千米，顾客选A或选B购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低， 求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民 应如何选择购货地点．
解 如图所示，以AB所确定的直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标 系，则A(－5,0)，B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米．
∴价格＋xA地运费≤价格＋xB地运费，
即3a≤a.
∵a>0，∴3≤.
两边平方，得9(x＋5)2＋9y2≤(x－5)2＋y2，
即2＋y2≤2.
∴以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线；圆C内居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，可随意从A、B两地之一购货．

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