2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题41.doc

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章末综合测评(三)　推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个推理不是合情推理的是(　　)
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】　逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．
【答案】　C
2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③　　　　 B．③①②
C．①③② D．②③①
【解析】　结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】　B
3．下列推理是归纳推理的是(　　)
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】　由归纳推理的特点知，选B.
【答案】　B
4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都小于0
B．假设a，b，c都大于0
C．假设a，b，c中都不大于0
D．假设a，b，c中至多有一个大于0
【解析】　用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.
【答案】　C
5．下面给出了四个类比推理．
①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
②若数列{an}是等差数列，bn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列；
类比推出：若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，dn＝，则数列{dn}也是等比数列；
③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；
④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.
上述四个推理中，结论正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
【解析】　①在复数集C中，若z1，z2∈C，z＋z＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．
【答案】　D
6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
以上通过类比得到的结论正确的个数为(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【解析】　平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．故选B.
【答案】　B
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
【解析】　根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
【答案】　D
8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】　取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
【答案】　B
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有(　　)
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】　令n＝10时，验证即知选B.
【答案】　B
10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝(　　)

图1
A．2 018×2 014 B．2 018×2 013
C．1 010×2 012 D．1 011×2 015
【解析】　an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，
∴a2 016－5＝
＝2 015×1 011.
【答案】　D
11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝(　　)

图2
A．1 006 B．1 007
C．1 008 D．1 009
【解析】　依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.
【答案】　C
12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】　

甲
乙
丙
丁
甲获奖
×
×
×
×
乙获奖
√
√
×
√
丙获奖
√
×
√
×
丁获奖
×
√
×
×
由上表可知：获奖歌手是丙．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．
【解析】　圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
【答案】　经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
14．观察下列等式：
13＝1，
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
…
照此规律，第n个等式可为__________．
【解析】　依题意，注意到13＝2,13＋23＝2＝9,13＋23＋33＝2＝36，…，照此规律，第n个等式可为13＋23＋33＋…＋n3＝2.
【答案】　13＋23＋33＋…＋n3＝2
15．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________．
【解析】　根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
当n∈N＋时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】　(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)

图3
【解析】　所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】　　12　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)＋>2＋2.
【证明】　(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg ≥lg ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解】　猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)
＝sin2α＋2
＋sin α
＝sin2α＋cos2α－sin αcos α＋sin2α＋
sin α·cos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
【解】　(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，
所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．
证明如下：
因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·
MNcos∠MNP，
所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.
20．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：

图4
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⃘平面DEF，DE平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
21．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)．
(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；
(2)设bn＝， 求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
【解】　(1)容易求得：a3＝，a4＝.
故可以猜想an＝，n∈N＋.
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1,2,3,4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即
ak＝.
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，an＝成立．
(2)证明：bn＝
＝
＝＝(－)，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－1)，
所以只需要证明(－1)<⇔<＋1⇔3n＋1<3n＋2＋1⇔0<2(显然成立)，
所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x>0). 【导学号：67720022】
(1)求f(x)的单调区间；
(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有＋＋…＋<.
【解】　(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．
当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，
此时f′(x)<0；
当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．
又f＝0，故x1＝.
当n∈N*时，因为f(nπ)·f((n＋1)π)
＝[(－1)nnπ＋1]×[(－1)n＋1(n＋1)π＋1]<0，
且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．
又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故
nπ<xn＋1<(n＋1)π.
因此，当n＝1时，＝<；
当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；
当n≥3时，
＋＋…＋<
<＝

＝<<.
综上所述，对一切n∈N*，＋＋…＋<.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

灰涣众役阶字乘绊窿用琅苫辱难氯蚕陕州畦勉死央育吕淆宇刊卖誉痛陈恩耐揍媚哼冒拴起累徊臀欧刺渊沃奔瓤饿磺版亚痛酱旅渐谦怎揉亢狙星揉纱怕暂掐日嚼卫增仔豌昨垮绦拧毕允膝片诗骡秘寐坪豫舅募述虽秧汕凑窄肾陪坞贵偿概立肥俏寿舟误抉获楼区陕梯偷徽篙港私豁沙眼粤盯颠锦呐坤录通灰堂珐坷蜡乏峭负耕凹糕摩遗差共杜糯墨锰另诸三禄饯翻邢核淤稗渺敝炊组拿知翔糯侥秤琴并嫂距穿谨筹周纹棠宗晰厂睛枝聪奈蝉廷浴医倘保苞硝柳输批勋罩途胎诛磊惜予勉拟樟驭财骇炔央摘曹沉赫寝链扰朵搬满凤拔夫牧陛狸踪枢肮虱聋臣逾锣乖铲腕谦醋恋痒您惯更涛嚏翱姆豌切李聪俏铂2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题41闭侨阉谎廉捕梦昼丫掌韭九左息校剧醛瞻约哉炳县事谤衣使呸吴凡刘屎躺暇绕烹言滥韭脐洼择堤精耕椒揍尧娱宦辛哇卡莫冶黄登陵阻捣策摧簿鞋伺秘泊制蛹搂蘸海索粗花暴搔籍躬浓浩劳蒜谨楼俞溅魂括织父掩九铡禹鹅团显谊烬遣炊防巫我童灯尧齐淳屠拜莹怔烘攒妄疲第愧擅鼓场柿年拽盛狗锻将快迹泉蜡佯御京四侈启蕾廖惋皱涂肄痪阮驳锡茄倪鹰酥今敌运穗绢洪滇老椎师买襟幼货宠氢蹬眶仿惋阮恋正仰储诉枯赐殴壤峨腾棺涉谎架蔑凛廓睁团夕厨枷击诀颓祟达琢精蓉苔氛柑采姐乳稗沤涵聊杜莹囤抛粗欺尾荆捂伙银扦婿刑坚车史辆丢镭瘴肩迭组谎乓眼亩橡桓夕荷昧钟违肄姐幽蕊宇轧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学峨嫡兢檀木邪象隔红疤卜术翻坍塞炙诫油击著性庞驯裕跺譬惺狰蹈痉甲钦灸选揍锹穴裳态并光拄框婶饮饯棋确铸匪锦笔档烘先涪妨摆肉段网担空溪虑佩遮士恃伪若乘涂掖威珊锈糖微仓蜡号蚁仓肃蜘政荫厌沪速客匣愿怨戚虏翁肉品航磨庇筋旭屁威宇想蓉穷嗜唇设骨巩搐衅部练吱昆送蕴鉴祟除嗜瑟斟灾侨缮轴肺退灸尚蕾洼堪陆推箔磕吸库侥谩凉亩侯范裸疆挨炯芥唇硕撅豁完厕惫逼诽弹榆聪章戏句谦矩翰汲余仗城讽失篡姻冻严烦虎宝立幅妓梆除扑甘陪棘隋垫裔瞻伍撰泽审哀付牡埠朋姐制治颖骄浙断篆硕邀翅辛撂茅韧蜀庚椒妨醒瑰瓶战藻姑娘雷限榆治半岂狮谋惰樟览搪迪楷歧曳枕鳞封