2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库51.doc

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第2讲 双曲线
一、填空题
1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.
解析　∵b＝，∴c＝，∴＝＝2，∴a＝1.
答案　1
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析　焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.
答案　
3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．
解析 ∵右焦点为(3,0)，∴c＝3，又∵c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝＝.
答案
4．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则
解得mn＝2，
∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，
∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2.
答案 2
5．设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
解析 ∵PF1⊥x轴，∴xP＝－c，代入－＝1，
得yp＝±，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∵P在y＝x上，∴yp＝－，
∴3b＝c，
∴9b2＝c2，
∴9(c2－a2)＝c2，
∴＝，
∴＝，∴e＝.
答案
6． 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，
它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析 由已知得解之得∴双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
7． 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂
足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．
解析 如图所示，不妨设F为右焦点，过F作FP垂直
于一条渐近线，垂足为P，过P作PM⊥OF于M.由已
知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，
又F(c,0)，渐近线方程为bx－ay＝0，
∴|PF|＝＝b，
∴b2＝·c，即2b2＝c2＝a2＋b2，
∴a2＝b2，∴e＝＝＝.
答案
8．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积是________．
解析　由可解得
又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.
答案　24
9. 如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案　x2－＝1
10．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析　 如图，由题知OA⊥AF，
OB⊥BF且∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
又OA＝a，OF＝c，
∴＝＝cos 60°＝，∴＝2.
答案　2
二、解答题
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若＝，求△AOB的面积．
解 (1)依题意得
解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为，
将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1，
设∠AOB＝2θ，则tan θ＝，从而sin 2θ＝，
又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
12．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知，得c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，
则解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，
故cos∠F1PF2＝
＝＝.
13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解　∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.
又∵双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明　法一　由(1)知a＝b＝，c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
∴kMF1·kMF2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，
∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0.
法二　∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴·＝0.
(3)解　∵在△F1MF2中，F1F2＝4，且|m|＝，
∴S△F1MF2＝·F1F2·|m|＝×4×＝6.
14．已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
(1)解　由题意知，l的方程为y＝x＋2，
代入C的方程并化简，得
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由M(1,3)为BD的中点，知＝1，
故×＝1，即b2＝3a2， ①
∴c＝＝2a，∴C的离心率e＝＝2.
(2)证明　由①知，C的方程为3x2－y2＝3a2.
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0.
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
∴|BF|＝＝
＝a－2x1，
∴|FD|＝＝
＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1或a＝－(舍去)．
故|BD|＝|x1－x2|＝ ＝6.
连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，∴∠DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在A处与x轴相切．∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.

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