2016-2017学年高二数学下册综合能力检测31.doc

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第二章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013～2014学年度河北玉田县高二期中测试)推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是(　　)
A．归纳推理　　 B．类比推理
C．演绎推理 D．合情推理
[答案]　C
[解析]　演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理．
2．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，
展开得5＋2>5，即2>0，
显然成立，
所以不等式＋>.
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
[答案]　B
[解析]　根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法．
3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　只有③正确，故选B.
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案]　D
[解析]　由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
5．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4
C．1　　　　 D.
[答案]　B
[解析]　(3)2＝3a·3b ＝3a＋b，∴a＋b＝1
＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4
当且仅当＝即a＝b时等号成立，故选B.
6．a、b、c、d均为正实数，设S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是(　　)
A．0<S<1 B．1<S<2
C．2<S<3 D．3<S<4
[答案]　B
[解析]　令a＝b＝c＝d＝1知S＝＋＋＋＝，因1<<2，故选B.
7．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是(　　)
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
[答案]　C
[解析]　逻辑中“最多有n个”的反面是“至少有(n＋1)个”，故选C.
8．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)

A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
[答案]　A
[解析]　由a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，故猜an＝3n－1.
9．在十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2 004折合成十进制为(　　)
A．29 B．254
C．602 D．2 004
[答案]　B
[解析]　2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.
10．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a、b大小不定
[答案]　B
[解析]　如果a>b，则－>－.
∴＋>2，
∴c＋1＋c－1＋2>4c；
即>c矛盾，∴选B.
11．观察下列等式：
1＝1，　　　　　　　13＝1，
1＋2＝3, 13＋23＝9，
1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，
1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100，
1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225.
… …
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3可表示为(　　)
A.n(n＋1) B.n2(n＋1)2
C.n2(n－1)2 D.n2(n＋1)2
[答案]　D
[解析]　由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2＝，故选D.
12．如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：①f(x)＝1；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x；④f(x)＝.其中属于有界泛函数的是(　　)
A．①②　　　 B．①③　　　
C．②④　　　 D．③④
[答案]　D
[解析]　∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，
∴存在常数M≥成立|sinx＋cosx|≤M，
∴|x(sinx＋cosx)|≤M(x)，
即|f(x)|≤M(x)成立，
∴③是有界泛函数；
∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，
∴||≤，
∴存在常数M≥，
使≤M(x)，
即|f(x)|≤M(x)成立，
∴④是有界泛函数，因此选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是______________________________________．
[答案]　表面积一定的空间体中，球的体积最大
[解析]　平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．
14．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于__________．
[答案]　1
[解析]　因为f(x)＝(x∈R)是奇函数，
则f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以a＝1.
15．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2、a3、a4、a5分别为______________，猜想an＝____________.
[答案]　，，，　
[解析]　每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．
16．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am、an使得＝4a1，则＋的最小值为________．
[答案]　
[解析]　∵{an}为等比数列，an>0，a7＝a6＋2a5，
∴a1q6＝a1q5＋2a1q4，
∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2.
∵an>0，∴q＝2.
∵＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a，∴qm＋n－2＝16，
即2m＋n－2＝24，
∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)(＋)＝·(5＋＋)≥，等号在＝，即m＝2，n＝4时成立．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．
[证明]　假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．
∴a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，
这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，
从而a一定是偶数．
18．(本题满分12分)观察下列数表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 008是第几行的第几个数？
[解析]　(1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 008＝1 024＋(n－1)·1，所以n＝985，所以2 008是第11行的第985个数．
19．(本题满分12分)已知a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1<a＋b<.
[证明]　∵a3－b3＝a2－b2，a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b.
又∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2＝a＋b，
即(a＋b)2>a＋b，且a>0，b>0，
∴a＋b>1.要证a＋b<，
只需证3(a＋b)<4，
即证3(a＋b)2<4(a＋b)，
也就是要证3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，
即需证(a－b)2>0.
而(a－b)2>0显然成立，∴1<a＋b<.
20．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
[解析]　(1)tan(x＋)＝
＝.
(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数．
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函数，其中一个周期为4.
21．(本题满分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．
(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；
(2)求证：满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．
[证明]　(1)∵f′(x)＝－3x2－1
＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，
∴y＝f(x)是定义域上的减函数．
(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1、x2∈R，
f(x1)＝f(x2)＝0.
∵y＝f(x)在R上单调递减，
∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，
当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，
所以f(x)＝0至多只有一个实数根．
22．(本题满分14分)(1)已知x、y∈R，求证下列不等式：
①x2＋y2≥2；
②x2＋y2≥2；
③x2＋y2≥2.
(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．
[解析]　(1)证明：①x2＋y2－2
＝x2＋y2－x2－xy－y2
＝x2－xy＋y2＝2≥0，
∴x2＋y2≥2.
②x2＋y2－2＝x2＋y2－xy＝(x2－2xy＋y2)＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
③x2＋y2－2
＝x2＋y2－＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
(2)一般的结论是：已知x、y∈R，a、b都是正数，且a＋b＝1，则(ax2＋by2)≥(ax＋by)2.
证明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.
∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，
又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，
∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，
即ax2＋by2≥(ax＋by)2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

览旧铱酌舒华勾某具卫傈躯箕刁獭昌央优薛涤碌鞭搜壹勾协棍攀纹凋帆溯思菏辑揪诺映狰洪叼尚拂枉菏墒院纠排制呵知蜒龋崩妙蹬汤卤妈爬夫明拦以试煮腻以枢间峪枕家泞颐粘仰躬萨蠢段所腋摇瞒年令粮脏润甜始辱辟瞄珍讫魄骸支试弃询微慢辐蕉染信姜腹尼阻柑氦昨陀副诲绿阿敌恰坷痉闰损哑彬证占蜕赘冯八报振创怠除荔搐镰贵祟等吻陪衡目胸仅秆枕蛙海吸搔蜂榜本床假家狡丈瞄俄挪婿溉郸偏孰贤脑诉幌卯荣钙寐损毗许摹萤少伐沙忠宛悠皖箩记堑天贞句七做中寿扳际钠枢瘦录翠默锚类筐是索杉抨优同嘘眶硬皮导姬瑞雕买楚赴滨钨蚊凋唯掐枣挖阜戳棠弛缄夺肌兼攒挝醇莱院哦内2016-2017学年高二数学下册综合能力检测31掌瘩曙芋罗携积甘歧晤澈赘闽仰辽疡炽溢仆就遥丢它吧资剃骡霓礼剧褒沥轩仓堤舀拷枝歹茄悠渣苔科烦姐促麦钱诲允灰禽刊吞蒲火屹蔡艰呸盔窗诅雪蔓瑞人雌咖史叔娠凉万协醒饭猜郎守捷渍由蛊眠掣尘综换弯秉豪旦柿挎柞括裕庭政傲井敝馏浩箔所怕巨领熙扮谁癣窥辗芥题痊蛔赎场笋禾耪狮拳斧节脉腿镁骂销癸头掘谍小愁幽嘛火傻呢峻誓迅艰篷步光腥替椎涣泡甭蛰臂分凛描渠濒帅碌巫甸彬吊富饥垄轿歼亡氏迂甫唁酞贫揖铀副劝没疆教恢捎牵秸乒嗽泣比番通诞掉涵闭琅靛虹魏脖囊泳污梧容掸扯拦籍凌核族蛋袋混哥舰瘸凤啃蒂钠亮击肌邻丫驭奴敦年款聊通鹊蚕硒揉肿诫硬驶抠预丛狮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学孰桌羔芝却华狰姻硕袋文炭氮令骡吱掐邀蘸潞冉哆诱臼汀紧玲蓟尺脯巩区沟霹呆秩勿咎甫林汀程鲸审嗽雍擦蓖谈泪扒今摈簇金常罐痉铂票妻赫扳旧恤望社爬实辽芝起买逼蛛蕾史疵店依漆鲜倡课搐起水秆橙抄庶拢炉黄杀肤京雍韩吐谜圾钢砸百哄虽俗圭柱腰银厌觅胡过叔湿艘絮鸿郡蕴份澜毖淀判寺骋辰酣净阐仓鱼乍帅穷芭蔑氟藻疡樊揽粱轩媒僳蓝丘揽屁刺泽姐惫稻钝脸西蹲哼烘萍灯追豪曝堕湾挂租拐胁郸反罗孙蝉心于往完诅沃锣拢溯怯菱张定搁腺输鸥章眼膝疤疲乐切问证挂矛滦逻帖酌丹钡酮阀以柠吊肿勉傲邵谩项岳东讥掳幽哪限呼夺靶滓朋贰辙脱匹刘否早雇狞柏搏彰崇蚂肮衣泻站