随机变量和其分布省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 随机变量随机变量第1页 在学习随机事件及其概率时在学习随机事件及其概率时,我们了解了我们了解了样本空间概念样本空间概念1、抛掷一、抛掷一骰子出现点数骰子出现点数2、抛掷一、抛掷一硬币正反面出现情况硬币正反面出现情况3、某城市、某城市120电话台一昼夜呼唤次数电话台一昼夜呼唤次数4、一批产品中任取一产品合格情况、一批产品中任取一产品合格情况一一、随机变量概念引入、随机变量概念引入第2页实例实例1 在一装有红球、白球袋中任摸一个球在一装有红球、白球袋中任摸一个球,观察摸出球颜色观察摸出球颜色.非数量非数量可采取以下方法可采取以下方法 红色红色 白色白色=红色、白色红色、白色 将将 数量化数量化 第3页即有即有 X(红色红色)=1,X(白色白色)=0.这么便将非数量这么便将非数量 =红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.第4页二二、随机变量定义、随机变量定义第5页随机变量伴随试验结果不一样而取不一样值随机变量伴随试验结果不一样而取不一样值,所以随机变量取值也有一定概率规律所以随机变量取值也有一定概率规律.(2)随机变量取值含有一定概率规律随机变量取值含有一定概率规律普通函数是定义在实数轴上普通函数是定义在实数轴上,而随机变量是而随机变量是定义在样本空间上定义在样本空间上(样本空间元素不一定是实数样本空间元素不一定是实数).(1)随机变量与普通函数不一样随机变量与普通函数不一样第6页实例实例1 设某射手每次射击打中目标概率是设某射手每次射击打中目标概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X()全部可能取值为全部可能取值为:第7页实例实例2 设某射手每次射击打中目标概率是设某射手每次射击打中目标概率是0.8,现该射手不停向目标射击现该射手不停向目标射击,直到击中目标为止直到击中目标为止,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X()全部可能取值为全部可能取值为:第8页实例实例3 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车经分钟有一辆汽车经过过,假如某人抵达该车站时刻是随机假如某人抵达该车站时刻是随机,则则是一个随机变量是一个随机变量.能取值为能取值为:且且 X()全部可全部可第9页(1)离散型离散型 随机变量所取可能值是有限多个或随机变量所取可能值是有限多个或无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.(2)连续型连续型 随机变量所取可能值能够连续地充随机变量所取可能值能够连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.三三、随机变量分类、随机变量分类第10页 2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布第11页1、定义定义一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布第12页离散型随机变量分布律也可表示为离散型随机变量分布律也可表示为说明：离散型随机变量有以下性质 第13页例例 离散型随机变量分布律以下：离散型随机变量分布律以下：试求：试求：(1)常数常数c值；值；(2)概率概率 (3)概率概率 解：解：(1)依据分布律性质，依据分布律性质，所以，所以，第14页例例 离散型随机变量分布律以下：离散型随机变量分布律以下：试求：试求：(1)常数常数c值；值；(2)概率概率 (3)概率概率 解：解：(2)(3)第15页解解练练第16页贝努利试验：假如随机试验E只有两个可能结果 与 ，就称该试验为贝努利试验新生儿性别登记；抛掷硬币正面出现情况；明天会不会下雨；参加英语等级考试结果；射手对目标进行射击；参加总统竞选结果；二、惯用离散分布二、惯用离散分布第17页例例 我国新生儿性别登记情况我国新生儿性别登记情况.随机变量随机变量 X 服从服从(01)分布分布.其分布律为其分布律为第18页设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它分布它分布律为律为则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.1.两点两点分布分布 第19页 两点分布是最简单一个分布两点分布是最简单一个分布,任何一个只有两任何一个只有两种可能结果随机现象种可能结果随机现象,比如新生婴儿是男还是女、比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.说明说明第20页n重贝努利试验（贝努利概型）：将贝努利试验独立重复进行n次，则称这一串重复独立试验为n重贝努利试验或简称贝努利概型.若在一次一次贝努利试验中，关心事件A是否发生是否发生.那么在n重重贝努利试验中，则会关心事件A发生次数第21页发生发生k次情形有多少种？次情形有多少种？发生发生k次概率？次概率？第22页贝努利定理设在一次试验中，事件设在一次试验中，事件A发生概率发生概率为为p(0p10，p0.1时，能够用泊松分布代替二项分布。4.二项分布泊松二项分布泊松近似近似 第39页例 有一繁忙汽车站，有大量汽车经过，设每辆车在一天某段时间内出事故概率为0.001.在某天该时段内有1000辆汽车经过，问出事故车辆数大于2概率是多少？设出事故车辆数为X，则它服从参数为n=1000,p=0.001二项分布，其分布律为：第40页 此题中，交通事故是稀有事件，用泊松分布（参数 ）近似代替。与二项分布结果0.264241087相比，模拟效果很好.第41页 2.3 随机变量分布函数随机变量分布函数第42页注注(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值概率情况概率情况.一、随机变量分布函数一、随机变量分布函数第43页求引例分布函数求引例分布函数,并画图并画图引例引例:设离散型随机变量设离散型随机变量X分布律为分布律为:二、离散型随机变量分布函数二、离散型随机变量分布函数第44页解解:第45页第46页分布函数性质分布函数性质第47页解解例例第48页第49页分布函数分布函数分布律分布律离散型随机变量分布律与分布函数关系离散型随机变量分布律与分布函数关系第50页例例 设设X分布函数以下，分布函数以下，求求X概率分布概率分布.解解第51页第52页第53页第54页第55页第56页第57页第58页第59页X分布函数为：分布函数为：第60页 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第61页 例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车经过分钟有一辆汽车经过,假假如某人抵达该车站时刻是随机如某人抵达该车站时刻是随机,则则是一个随机变量是一个随机变量.实际上实际上“某人等到某人等到2分分59秒秒”这种随机事件几乎不这种随机事件几乎不可能发生，研究可能发生，研究0，5中一个点概率无意义，通常中一个点概率无意义，通常关注取值落在一个区间上概率。关注取值落在一个区间上概率。一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度且且 X()全部可能取值为全部可能取值为第62页146第63页区间号区间号区间区间人数人数频率频率1(145,161130.15472(161,165100.11903(165169150.17864(169173180.21445(173177150.17866(177185130.1547 频率分布表频率分布表 x 身高身高y频率密度频率密度145161 165 169 173177 185频率频率=组距组距频率密度频率密度即频率即频率=对应长方形面积对应长方形面积.组距组距1644448频率频率/组距组距0.0097 0.02960.0447 0.05360.0447 0.0194 第64页 若身高数据无限增多，并在数据分组时使得组数若身高数据无限增多，并在数据分组时使得组数无限增多，且组距无限缩小，那么无限增多，且组距无限缩小，那么频率密度直方图频率密度直方图顶边缩小乃至形成一条光滑曲线。顶边缩小乃至形成一条光滑曲线。我们称此曲线为我们称此曲线为概率密度曲线概率密度曲线x 身高身高y频率密度频率密度145161 165 169 173177 185y 频率密度频率密度 x 身高身高 a b频率频率=长方形面积长方形面积X落在落在(a,b 概率概率=曲边梯形面积曲边梯形面积第65页1.概率密度函数概率密度函数定义定义第66页12.概率密度函数性质概率密度函数性质第67页注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 概率等于零概率等于零.即即连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间概率与区间开闭无关区间概率与区间开闭无关第68页例例第69页解解第70页第71页第72页解解第73页3.连续型随机变量分布函数连续型随机变量分布函数第74页解解:第75页第76页第77页第78页第79页1.均匀分布均匀分布 常见连续型随机变量分布常见连续型随机变量分布第80页解解由题意由题意,R 概率密度为概率密度为故有故有例例 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 概率密度及概率密度及 R 落在落在901950 1050 概率概率第81页练：某公共汽车站从早晨练：某公共汽车站从早晨6时起，每时起，每15分钟来分钟来一辆车，即一辆车，即6:00,6:15,6:30,6:45等时刻有汽车进等时刻有汽车进站。如某乘客抵达此站时间是站。如某乘客抵达此站时间是6:00到到6:30之间之间均匀分布随机变量，试求该乘客等候时间少于均匀分布随机变量，试求该乘客等候时间少于5分钟概率。分钟概率。第82页第83页2.指数分布指数分布第84页 指数分布在实际应用中经常碰到，在排队指数分布在实际应用中经常碰到，在排队论及可靠性理论中指数分布惯用来表示机器维论及可靠性理论中指数分布惯用来表示机器维修时间，寻呼台收到服务抵达时间间隔，元器修时间，寻呼台收到服务抵达时间间隔，元器件使用寿命生物寿命等。件使用寿命生物寿命等。应用与背景应用与背景第85页例：修理某种机械所需要时间例：修理某种机械所需要时间X小时是一个连小时是一个连续型随机变量，它服从参数为续型随机变量，它服从参数为 指数分布，指数分布，任取任取1台待修机械，求修理这台机械需要时间超台待修机械，求修理这台机械需要时间超出出2小时概率。小时概率。解：连续型随机变量解：连续型随机变量X概率密度为：概率密度为：任取任取1台待修机械，求修理这台机械需要时间超台待修机械，求修理这台机械需要时间超出出2小时事件可用小时事件可用 表示表示第86页练：到某服务单位办事总要排队等候。设等候练：到某服务单位办事总要排队等候。设等候时间时间T是服从指数分布随机变量，概率密度函是服从指数分布随机变量，概率密度函数为数为某人到此处办事，等候时间若超出某人到此处办事，等候时间若超出15min，他就，他就愤然离去。设此人一个月去该处愤然离去。设此人一个月去该处10次，求（次，求（1）恰好有两次愤然离去概率（恰好有两次愤然离去概率（2）最少有）最少有2次愤然离次愤然离去概率去概率第87页第88页第89页3.正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)第90页正态概率密度函数几何特征正态概率密度函数几何特征第91页第92页第93页 正态分布是最常见最主要一个分布正态分布是最常见最主要一个分布,比如比如测量误差测量误差,人生理特征尺寸如身高、体重等人生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产产品尺寸正常情况下生产产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布应用与背景正态分布应用与背景 第94页标准正态分布概率密度表示为标准正态分布概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布分布函数表示为标准正态分布分布函数表示为：第95页标准正态分布概率密度函数图形标准正态分布概率密度函数图形第96页解解例例第97页第98页普通正态分布与标准正态分布关系普通正态分布与标准正态分布关系第99页例例第100页第101页例例:公共汽车车门高度是按成年男子与车公共汽车车门高度是按成年男子与车门顶碰头概率小于门顶碰头概率小于1%要求设计要求设计.若成年男若成年男子身高子身高X(cm)服从服从 分布分布,问车门问车门高度应确定为多少高度应确定为多少?第102页第103页例例 已知某台机器生产螺栓长度已知某台机器生产螺栓长度X(cm),服从参数服从参数 正态分布。要求螺栓长度在正态分布。要求螺栓长度在 内为合格品，试求螺栓为合格品概率。内为合格品，试求螺栓为合格品概率。第104页