高三理科数学第一轮专题检测训练8.doc

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(推荐时间：60分钟)
1． 已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a<0时讨论函数f(x)的单调性；
(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解　f′(x)＝x－＋a－2＝(x>0)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，
∴所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，
即4x＋2y－3＝0.
(2)①当－a＝2，即a＝－2时，
f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当－a<2，即－2<a<0时，
∵0<x<－a或x>2时，f′(x)>0；
－a<x<2时，f′(x)<0，
f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；
③当－a>2，即a<－2时，
∵0<x<2或x>－a时，f′(x)>0；
2<x<－a时，f′(x)<0，
f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．
(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1<x2.
由>a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，
令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g′(x)＝x－－2≥0，
即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．
∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为.
2． 已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB(O是坐标原点)的面积S∈，若弦AB的中点为R，求直线OR斜率的取值范围．
解　(1)由题意，得|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|
＝|CQ|＝4>2，
所以点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
即轨迹的方程为＋y2＝1.
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)，
由题意，直线l的斜率不可能为0，
故可设直线l：x＝my＋1，
由消去x，得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
所以
S＝|OP|·|y1－y2|＝
＝，
由S∈，解得1<m2<6，
即m∈(－，－1)∪(1，)．
因为R(x0，y0)是AB的中点，
所以y0＝＝－，x0＝my0＋1＝.
故直线OR的斜率k＝＝－∈∪.
3． 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的的取值范围．
解　(1)∵f′(x)＝＋2x－10，
∴f′(3)＝＋6－10＝0，故a＝16.
(2)由(1)，知f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，
f′(x)＝＝.
当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(1,3)时，f′(x)<0.
则f(x)的单调递增区间是(－1,1]和[3，＋∞)，
单调递减区间是[1,3]．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，
在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.
所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，
极小值为f(3)＝32ln 2－21.
所以在f(x)的三个单调区间(－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)上，
当且仅当f(3)<b<f(1)，
直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，如图所示．
因此，b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．
4． 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2
＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A，过A作椭圆C的两条动弦AB、AC，若直线AB、AC的斜率之积为，试问直线BC是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
解　(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵2p＝4，∴p＝2，抛物线的焦点为F(1,0)，
∴椭圆的一个焦点为F(1,0)，∴c＝1.
又∵＝，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)．
当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，
设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝·＝＝
＝≠，不合题意．
故直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y＝kx＋m，
并代入椭圆方程，整理得：
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0 ①
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得
2k2－m2＋1>0，②
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由kAB·kAC＝·＝得
4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，
即4(kx1＋m)(kx2＋m)－4(kx1＋m＋kx2＋m)＋4＝x1x2，
亦即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，
－＋4(m－1)2＝0，
整理得(m－1)(m－3)＝0，
又∵m≠1，∴m＝3，此时直线的方程为y＝kx＋3，
所以直线BC恒过一定点P(0,3)．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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