高二数学下册课时调研检测试题13.doc

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课时作业(二十五)　[第25讲　正、余弦定理及其应用]

[时间：45分钟　分值：100分]

1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________.
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝4，c＝，则最小的内角为________．
3．在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为________．
4．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.

5．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是________．
6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，则△ABC解的情况是________．
7．[2011·苏北四市一调] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA＝sinC，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是________．
8．在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为________．
9．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝，则＝________.
10．若＝＝，则△ABC的形状是________．
11．[2012·镇江模拟] 在△ABC中，若AB＝AC，则cosA＋cosB＋cosC的取值范围为________．
12．[2012·江西六校联考] 在三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，c＝2，C＝，记m＝(sinC＋sin(B－A)，2)，n＝(sin2A,1)，若m与n共线，则△ABC的面积为________．
13．(8分)在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．

14．(8分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

15．(12分)[2011·苏州一模] 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A；
(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)

16．(12分)[2011·南京三模] 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC＋ccosA＝2bcosB.
(1)求角B的大小；
(2)求sinA＋sinC的取值范围．

课时作业(二十五)
【基础热身】
1．5　[解析] 由＝得，b＝＝＝5.
2．30°　[解析] 大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cosC＝＝.又因为C∈(0，π)，所以最小角C＝30°.
3．等腰三角形　[解析] 由正弦定理及余弦定理，得＝，cosC＝，所以＝2·，整理得b2＝c2，因为b>0，c>0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形．
4.　[解析] 根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)，
∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，
∴sinC＝cosC，∴C＝.
【能力提升】
5．9　[解析] 由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝absinC＝×6×6×＝9.
6．无解　[解析] ∵b＞a，∴B＞A.而A＝150°，B为钝角不可能，所以无解．
7.　[解析] 由sinA＝sinC，得＝＝⇒a＝c，cosB＝＝⇒a＝2，c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝.
8.　[解析] 由已知可得sinA＝，sinA>sinB，由于在△ABC中，由sinA>sinB⇔A>B知角B为锐角，故cosB＝，
所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－＝－，故cosC＝.
9．2　[解析] 设＝＝＝k(k>0)，则有a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
从而＝＝k，
又＝＝2＝k，所以＝2.
10．等腰直角三角形　[解析] 在△ABC中，由正弦定理：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝得：＝＝，∴＝＝1.
∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
11.　[解析] 由于AB＝AC，所以b＝c，由余弦定理得
cosA＋cosB＋cosC＝＋2·＝－2＋＋1＝－2＋，由于b＋c>a，即2b>a，所以0<<2，于是1<－2＋≤.
12.　[解析] ∵m与n共线，∴sinC＋sin(B－A)－2sin2A＝0，
sin(A＋B)－sin(A－B)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，S＝absinC＝.
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a.
由c2＝a2＋b2－2abcosC得4＝a2＋b2－ab，
联立方程
解得a＝，b＝.S＝absinC＝.
所以△ABC的面积为S＝.
13．[解答] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0<A<.
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，
sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理，得＝，
BC＝·AC＝3，
所以S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.
14．[解答] (1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c.
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝.
又sinB＋sinC＝1，得sinBsinC＝，解得sinB＝sinC＝.
因为A＝120°，所以0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，
故B＝C＝30°.
所以△ABC是等腰钝角三角形．
15．[解答] (1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝.
∵0°<A<180°，∴A＝60°.
(2)由得B＝105°，C＝15°.
由正弦定理得＝，即b＝，
∴b＝4tan75°，
∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋，
∴b＝8＋4.
16．[解答] (1)方法一：由acosC＋ccosA＝2bcosB及余弦定理，得
a×＋c×＝2b×.
化简，得a2＋c2－b2＝ac，
所以cosB＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
方法二：由acosC＋ccosA＝2bcosB及正弦定理，得
sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，
即sin(A＋C)＝2sinBcosB，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB≠0，
所以cosB＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin
＝sinA＋cosA
＝sin，
因为0<A<，所以<A＋<，
所以<sin≤1，
所以sinA＋sinC的范围是.

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