江西省上饶市2016届高三数学下册第一次模拟试题.doc

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2015年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．下列各命题
①方程+|y+1|=0的解集是{，﹣1}，
②集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{﹣1，0，1}，
③集合M={y|y=x2+1}与集合P={（x，y）|y=x2+1}表示同一集合，
④集合A=，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（﹣1，2）．
其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

2．设z的共轭复数是，且=4， =8，则等于（　　）
A．±1 B．±i C．1 D．﹣i

3．函数f（x）=2sin2（﹣x）﹣1（x∈R）是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数

4．“λ≤1”是数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．

6．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2×2的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为（　　）

A． B． C． D．

7．设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕
f（x）﹣20=0
1
f（x）+10=0
1
f（x）﹣10=0
3
f（x）+20=0
1
f（x）=0
3

α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（　　）
A．0＜α＜10 B．10＜α＜20 C．﹣10＜α＜0 D．﹣20＜α＜﹣10

8．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1

9．如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则有•的取值范围是（　　）

A． B． C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]

10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论
（1）AC1⊥BC；
（2）=1；
（3）面FAC1⊥面ACC1A1；
（4）三棱锥D﹣ACF的体积为．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）
A． B． C． D．2

12．给出下列命题：
（1）设随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为4．
（2）已知事件A、B是相互独立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，则P（B）=0.51（表示事件A的对立事件）．
（3）（+）18的二项展开式中，共有4个有理项．
（4）由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为．
则其中真命题的序号是（　　）
A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（1）、（2）、（3）、（4）

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为　　　　　　．

14．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、俯视图与左视图均是半径为2的圆，则这个几何体的表面积是　　　　　　．

15．己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x与圆（x﹣2）2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=　　　　　　．

16．已知数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），则这样的数列{an}共有　　　　　　个．

三.解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣3•2n+4（n∈N*）．
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男

5

女
10

合计

50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

19．如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，EF=2，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为，
（1）在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN；
（2）求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值．

20．设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．设函数f（x）=x2﹣ax+ln（ax+）（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=处取极值，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），求实数m的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答．若多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．
（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．

2015年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．下列各命题
①方程+|y+1|=0的解集是{，﹣1}，
②集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{﹣1，0，1}，
③集合M={y|y=x2+1}与集合P={（x，y）|y=x2+1}表示同一集合，
④集合A=，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（﹣1，2）．
其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】集合．
【分析】①，方程+|y+1|=0的解集是{（，﹣1）}，可判断①；
②，集合{x∈Z|x3=x}={x|x（x+1）（x﹣1）=0}，可判断②；
③，分析知集合M={y|y=x2+1}为数的集合，集合P={（x，y）|y=x2+1}表示点集，可判断③；
④，分别求出集合A=={x|x＞﹣1}与集合B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，继而可求得A∩B，可判断④．
【解答】解：对于①，由+|y+1|=0得：x=且y=﹣1，所以方程+|y+1|=0的解集是{（，﹣1）}，故①错误；
对于②，集合{x∈Z|x3=x}={x|x（x+1）（x﹣1）=0}，用列举法表示为{﹣1，0，1}，故②正确；
对于③，集合M={y|y=x2+1}为数集，集合P={（x，y）|y=x2+1}为点集，二者不表示同一集合，故③错误；
对于④，集合A=={x|x＞﹣1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则A∩B=（0，2），故④错误．
综上所述，真命题的个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查集合的概念与表示方法，考查集合的运算，属于中档题．

2．设z的共轭复数是，且=4， =8，则等于（　　）
A．±1 B．±i C．1 D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），由于=4， =8，可得2a=4，a2+b2=8，解得a，b．再利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），
∵=4， =8，
∴2a=4，a2+b2=8，
解得a=2，b=±2．
∴z=2±2i．
当z=2+2i时，则====i．
同理当z=2﹣2i时，则=﹣i．
故=±i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

3．函数f（x）=2sin2（﹣x）﹣1（x∈R）是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数
【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】由二倍角的余弦公式化简函数解析式可得f（x）=sin2x，求出其周期和奇偶性即可得解．
【解答】解：∵f（x）=2sin2（﹣x）﹣1=1﹣cos[2（﹣x）]﹣1=cos（﹣2x）=sin2x
∴T==π
∴由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）可知函数f（x）是奇函数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题．

4．“λ≤1”是数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据数列的递增的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，
∴an+1＞an．
∴（n+1）2﹣2λ（n+1）＞n2﹣2λn，
化为对于∀n∈N*恒成立．
∴．
则“λ≤1”是数列“an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据递增数列的性质是解决本题的关键．

5．函数的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】观察题设中的函数表达式，应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．
【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=
当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x
故f（x）=，故其图象应该为
综上，应该选D
【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．

6．将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2×2的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为（　　）

A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率，同理可求C方格的数字大于D方格的数字的概率，即可求出A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率．
【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，
对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，
则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，
则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P==．
同理C方格的数字大于D方格的数字的概率为P==，
∴A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率为=
故选：B．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．

7．设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕
f（x）﹣20=0
1
f（x）+10=0
1
f（x）﹣10=0
3
f（x）+20=0
1
f（x）=0
3

α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（　　）
A．0＜α＜10 B．10＜α＜20 C．﹣10＜α＜0 D．﹣20＜α＜﹣10
【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极小值的取值范围．
【解答】解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，
方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒
依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕
（1）当a为正时，

（2）当a为负时，

因极大值点a位于水平线y=10与y=20之间﹐
所以其y坐标α（即极大值）的范围为10＜α＜20﹒
故选：B﹒
【点评】评：本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．

8．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．
【解答】解： =，即为
3ccosA=acosC，
即有3c•=a•，
即有a2﹣c2=b2，
又a2﹣c2=2b，则2b=b2，
解得b=4．
故选A．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

9．如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则有•的取值范围是（　　）

A． B． C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，由此求得BD，进一步利用向量的三角形法则以及向量的运算得到•的最值．
【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，
∴BD=．
如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．
则，．
∴•=（）=．
所以当点P取点B时，则•===1，
当点P取BC边上的任意一点时， •取得最小值=﹣=﹣1．
∴•的取值范围是[﹣1，1]．
故选C．．
【点评】本题考查了向量的数量积定义及其性质、投影的定义、向量的三角形法则、直角梯形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论
（1）AC1⊥BC；
（2）=1；
（3）面FAC1⊥面ACC1A1；
（4）三棱锥D﹣ACF的体积为．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，由余弦定理，即可判断；
（2）连接AF，C1F，由正三棱柱的定义，即可判断；
（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F﹣AC1﹣C的平面角，通过解三角形CDF，即可判断；
（4）由于AD⊥平面CDF，通过VD﹣ACF=VA﹣DCF即可求出体积．
【解答】解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，
AC1=2，cos∠B1C1A==，
故（1）错；
（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，
又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；
（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，
则∠CDF为二面角F﹣AC1﹣C的平面角，CD=，CF=，DF=，
即CD2+DF2=CF2，故二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°，面FAC1⊥面ACC1A1，故（3）正确；
（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，
则VD﹣ACF=VA﹣DCF=•AD•S△DCF==．故（4）正确．
故选：C．

【点评】本题考查正三棱柱的定义和性质，考查线面垂直的判定和性质，空间的二面角，以及棱锥的体积，注意运用转换法，属于中档题．

11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+，x1x2=4．
∴y1+y2=，y1y2=﹣16，
又=0，
∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．给出下列命题：
（1）设随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为4．
（2）已知事件A、B是相互独立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，则P（B）=0.51（表示事件A的对立事件）．
（3）（+）18的二项展开式中，共有4个有理项．
（4）由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为．
则其中真命题的序号是（　　）
A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（1）、（2）、（3）、（4）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）依题意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a﹣2），即a﹣2=2，于是可求得实数a的值，可判断（1）；
（2）利用相互独立事件与对立事件的概率公式，可知P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B），计算后可判断（2）（表示事件A的对立事件）；
（3）利用（+）18的二项展开式的通项公式Tr+1=••=•（0≤r≤18），令6﹣为整数，可求得r的值，从而可判断（3）；
（4）作出曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的图形，设其面积为S，利用微积分基本定理计算后可判断（4）．
【解答】解：对于（1），∵随机变量X～N（1，52），
∴P（X≤0）=P（X＞2），
∵P（X≤0）=P（X＞a﹣2），
∴a﹣2=2，解得：a=4，即实数a的值为4，故（1）正确；
对于（2），事件A、B是相互独立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，
则P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（表示事件A的对立事件），故（2）正确；
对于（3），（+）18的二项展开式中，Tr+1=••=•（0≤r≤18），
当r=0、6、12、18时，6﹣为整数，即（+）18的二项展开式中共有4个有理项，故（3）正确；
对于（4），由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的图形如下，设阴影部分的面积为S，

由得：x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，
则S=（3﹣x2﹣2x）dx=（3x﹣﹣x2）=（2﹣）﹣（﹣9+9﹣9）=，故（4）正确．
综上所述，其中真命题的序号是：（1）（2）（3）（4）．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正态分布、概率与统计、微积分基本定理及二项式定理的应用，属于难题．

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为　　．

【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=10时，不满足条件z＜10，退出循环，输出的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=2，y=2，z=4
满足条件z＜10，x=2，y=4，z=6
满足条件z＜10，x=4，y=6，z=10
不满足条件z＜10，退出循环，输出的值为
故答案为：．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确根据赋值语句的功能求出每次循环x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．

14．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、俯视图与左视图均是半径为2的圆，则这个几何体的表面积是　17π　．

【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，代入球的表面积公式可得答案．
【解答】解：由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，
∵球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=17π．
故答案为：17π．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．

15．己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x与圆（x﹣2）2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=　2n﹣n2　．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由直线和圆的知识易得a1和d，再由等差数列的求和公式可得．
【解答】解：∵直线y=a1x与圆（x﹣2）2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，
∴直线x+y+d=0过圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），
∴2+d=0，解得d=﹣2；
又直线x+y+d=0的斜率是﹣1，∴a1=1，
∴Sn=na1+d=2n﹣n2，
故答案为：2n﹣n2
【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．

16．已知数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），则这样的数列{an}共有　252　个．
【考点】数列的函数特性．
【专题】创新题型；排列组合．
【分析】运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解．
【解答】解：∵数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，
∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1，
an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），共有7对差，
可能an+1﹣an=﹣1，或an+1﹣an=，或an+1﹣an=1．
设﹣1有x个，有y个，1有7﹣x﹣y个，
则想x（﹣1）++1×（7﹣x﹣y）=1，
即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整数，
可判断；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三组符合
所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252．
故答案为：252
【点评】本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力．

三.解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣3•2n+4（n∈N*）．
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由Sn=2an﹣3•2n+4（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=2a1﹣6+4，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得，即可证明；
（2）由（1）可得==，bn===，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】（1）证明：∵Sn=2an﹣3•2n+4（n∈N*），∴n=1时，a1=S1=2a1﹣6+4，解得a1=2．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，
化为，
变形为，
∴数列{}是等差数列，首项为=1，公差为；
（2）解：由（1）可得==，
∴bn===，
∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+
=
=．
【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男

5

女
10

合计

50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；
（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．
（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．
【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得
列联表补充如下

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（2）因为 K2=，即K2==，
所以 K2≈8.333
又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．

（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，
记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，
则ξ的分布列：
ξ
0
1
2
3
P

则Eξ=1×+2×+3×=0.9，
Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49
【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19．如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，EF=2，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为，
（1）在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN；
（2）求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）存在，点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN．由已知得EF∥AB，MN∥AB，从而EF∥MN，E，F，M，N四点共面，由此能证明BC⊥平面EFNM．
（2）在平面EFNM内，过点F作MN的垂线，垂足为H，则二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH，过H作边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接FN，FS，FQ，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣EF﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）存在，点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN．
证明如下：∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB（线面平行的性质定理）．
又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，
∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四点共面．
∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∴BC⊥MN，
且，∴BC⊥平面EFNM．…（6分）
（2）在平面EFNM内，过点F作MN的垂线，垂足为H，
则由（1）知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，
所以FH⊥平面ABCD，
又因为FN⊥BC，HN⊥BC，则二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH，
在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN==，
HN=FN•cos∠FNH==2．FH=8，
过H作边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接FN，FS，FQ，
以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则F（0，0，8），S（2，0，0），N（0，2，0），B（2，2，0），
则=（﹣2，0，8），=（0，2，0），
设平面ABEF的一个法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得=（4，0，1），
同理可求得设平面BCF的一个法向量为=（0，4，1），
于是有： ===，
∴为锐角，
设二面角B﹣EF﹣C的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞=．…（12分）

【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；
（2）先假设存在点M（m，0）（）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．
【解答】解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），
则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），
代入+=1可得，y0=，
因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，
所以，
由题意得，a=b，代入上式解得：a=、b=，
故所求椭圆方程为．

（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（）满足条件，
∵直线与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，可得．
则，．
∴，，其中x2﹣x1≠0，
∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，