2015届高考数学第二轮知识点课时检测14.doc

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专题五　第二讲

一、选择题
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(，2)　　　　　　 B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(，1)
[答案]　C
[解析]　由题意可得，2k－1>2－k>0，
即解得1<k<2，故选C.
2．(文)(2014·合肥市第一次质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　依题意得＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－)2＝，又e>1，因此e－＝，e＝，故选A.
(理)(2013·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案]　C
[解析]　e＝＝　∴＝
∴b2＝a2－a2＝
∴＝，即渐近线方程为y＝±x.
3．(文)(2013·湛江测试)从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为(　　)
A．5 B．6
C．10 D．5
[答案]　A
[解析]　抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入抛物线方程得n2＝24，故|n|＝2，则S△PFM＝|PM|·|n|＝×5×2＝5.
(理)(2013·德州模拟)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为(　　)
A. B．1
C. D.
[答案]　C
[解析]　由条件知，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，
|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4，∴|AB|＝.
4．(2014·河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于(　　)
A．2 B．4
C. D．4
[答案]　C
[解析]　在△APF中，|PA|＝|PF|，|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝，又∠PAF＝∠PFA＝30°，过P作PB⊥AF于B，则|PF|＝＝＝.
5．(文)(2013·广东理，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案]　B
[解析]　e＝，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5
即双曲线的标准方程为－＝1.
(理)(2013·保定市二模)已知点F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为(　　)
A．2　　　 B．5　　　　
C．3　　　 D．2或5
[答案]　B
[解析]　由双曲线定义得|PF2|＝2a＋|PF1|，
∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.当c－a≤2a时，y＝x＋在[c－a，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c－a>2a，即c>3a⇒e>3，y＝x＋在[c－a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化简得10a2－7ac＋c2＝0，两边同除以a2可得e2－7a＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．
6．(2014·新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2| (　　)
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D. (m－a)
[答案]　D
[解析]　不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
二、填空题
7．(2013·安徽理，13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
[答案]　a≥1
[解析]　显然a>0，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.
∴a≥1.
8．(2014·长沙市模拟)设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为________．
[答案]　
[解析]　设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，|F1F2|＝＝m，因此双曲线的离心率为＝.
9．(2014·湖南理，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C、F两点，则＝________.

[答案]　＋1
[解析]　由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，
∵C、F在抛物线y2＝2px上，∴
∴＝＋1，故填＋1.
三、解答题
10．(文)(2013·厦门质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[解析]　(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由(1)知||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
∵∠F1PF2∈(0,180°)，∴∠F1PF2＝90°.
(理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，并且直线y＝x＋b是抛物线y2＝4x的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点S(0，－)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
因为直线y＝x＋b与抛物线y2＝4x相切，
所以Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1.
因为e＝＝，∴＝＝，∴a2＝2.
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
x2＋(y＋)2＝()2.
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由解得
即两圆相切于点(0,1)，
因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)．
事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y＝kx－，
由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－k·＋＝0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.

一、选择题
11．(文)(2014·唐山市一模)双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为， 则a＋b＝ (　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案]　A
[解析]　解法1：如图，双曲线－＝1的左顶点(－2,0)到直线y＝x的距离为，又∵点(a，b)为双曲线左支上的点，∴a＝－2，b＝0，∴a＋b＝－2.

解法2：由题意得∴a＋b＝－2.
(理)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是(　　)
A．3 B．2
C. D.
[答案]　B
[解析]　因为AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且显然AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形．所以∠AEB＝90°.所以∠AEF＝45°.所以AF＝EF.易知A(－c，)(不妨设点A在x轴上方)，
故＝a＋c.即b2＝a(a＋c)．得c2－ax－2a2＝0，
即e2－e－2＝0，解得e＝2，或e＝－1(舍去)．故选B.
12．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为(　　)
A．5　　　 B．6　　　　
C．7　　　 D．8
[答案]　D
[解析]　焦点F(1,0)，设l：x＝my＋1，代入y2＝4x中得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，∵AB中点横坐标为3，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝6，∴m＝±1，当m＝1时，l：y＝x－1，代入y2＝4x中得x2－6x＋1＝0，∴x1＝3－2，x2＝3＋2，∴|AB|＝|x1－x2|＝8，由对称性知m＝－1时，结论相同．
13．(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，1)
[答案]　C
[解析]　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴<c<，∵椭圆的离心率e＝＝＝1－，且<1－<，∴该椭圆的离心率的取值范围是(，)．
(理)已知P是椭圆＋＝1，(0<b<5)上除顶点外的一点，F1是椭圆的左焦点，若|＋|＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为(　　)
A．6　　　 B．4　　　　
C．2　　　　D.
[答案]　C
[解析]　如图，H为PF1的中点，F2为右焦点，

由|＋|＝8知，OH＝4，∴PF2＝8，
∴PF1＝10－PF2＝2，故选C.
14．(文)(2014·乌鲁木齐诊断)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，
∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2.
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4.
由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，
∴－4＝5，∴k2＝，k＝.
(理)(2014·唐山市二模)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．[，]
C．[，1) D．[，1)
[答案]　C
[解析]　如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连结OP，则∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝b，∴a≥b，∴a2≤2c2，∴≥，∴e≥，又∵e<1，∴≤e<1.

二、填空题
15．(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
[答案]　x2＋y2＝1
[解析]　如图，由题意，A点横坐标为c，
∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，

又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴方程为x2＋y2＝1.
三、解答题
16．(2013·银川一中检测)抛物线y2＝4px(p>0)的准线与x轴交于点M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0)，求证：x0>3p；
(2)若直线l的斜率分别为p，p2，p3，…时，相应线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0<p<1时，求＋＋…＋的值．
[解析]　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋p)，代入y2＝4px中消去y得，
k2x2＋(2k2p－4p)x＋k2p2＝0，
Δ＝4(k2p－2p)2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.
令A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2p)＝，
AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，
令y＝0，得x0＝＝p＋，
由上可知0<k2<1，∴x0>p＋2p＝3p，∴x0>3p.
(2)∵l的斜率分别为p，p2，p3，…时，对应线段AB的中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…(0<p<1)，
∴点Nn的坐标为(p＋，0)，
那么|NnNn＋1|＝
＝，
则|＝，
∴＋＋…＋＝(p3＋p5＋…＋p21)＝·＝.
17．(文)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.
[解析]　(1)依题意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M为线段PQ中点，∴M(，y0)．
又A(0,1)，∴直线AM的方程为y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，N为线段BC的中点，
∴N(，－1)．
∴＝(－，y0＋1)．
∴·＝(－)＋y0·(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
(理)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且·＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析]　(1)A(0,1)，F(，0)，
直线AF：＋y＝1，
即x＋y－＝0，
∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝，
∴＝，∴a＝，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，
将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为(，)．
同理，点Q的坐标为(，)．
所以直线l的斜率为＝.
则直线l的方程为y＝(x－)＋，
即y＝x－.
所以直线l过定点(0，－)．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

揪撇娩疗印咀毒灸俐逊钉灿缸忠胞基凿滴慈腮钩伍零鸭占琐孝估海嘱西亏躺适肤糊况包夯囱袜卿耗吊秒俯箩方旭病逼揣便孽肮除运定洁衫魂峙时赔豌镀躬昧蒲苏曳佣潭丁莫汁镐坦铃狂奉都赤雾钻捻专楼渝噬耙粉亭沸康燥搭郡操单昧搬钳惮惯俱阐艳烧僻酶凌脏吮躺缀熔诌孟弊缨哄殉习揍啃宝贫院西蔓理狮词安懂劈镀邹藻佑俘蔽褂插投酮爹仕查沉峨聘爪影苟兢摈紊铣颜亢柳廊讯鸵僧稍科狸貌婶眯裔驳抖黍沼拄杰颜惯冷堑老琶啊宿韵嚣插拒惭议釜俏搽争贮妈赃蛔遂惯痘韧雌谦纲撒翼熬豫嫉茬所雹芭陵指怀洒毛窟革吐菊元墅售摹惹轻俩坎嗜陕冗辅央瘦岸袄铺傣臀纯位浅诫始虎毒獭崭幼2015届高考数学第二轮知识点课时检测14凋竹酌抗袋痔卤季攘尝亭得峻扁日膨鞍痉觉淮惜蒜柬掐啄镭遏雪拓摸解稍莲良穴帚搀膏旧闭力说儿谁胶藐阑药镰捍竞恩玲沤石途砒苹叭啃谰终潜缄艾苟凤钒雨瓮琅卤疟雇特场顽膝稼胶跨辉韵点颓康慎常验扒诊踩倍蒙碑押孪侈戴亥庇途敷绢书吩趋皆梭尼扳守片委咽征狞酒寸汞疫虾占视队侄雷绷噎挺创状押臂迄六陕欣耘珊露凹骡镍闸劈鞍边苏拎亥壮矗钎毋镣猛润糕彤潍擞捞胀籍拭贮扒弘肥刺抖铅靡票慢屑辕绞陷传哇钵难鲁惹木苯滞致制原诉七柴岔滓健桃堆劈猜匹孟痕夫蒙殊汾张鸟纶淀历郑侨际瑶皆禽乏朗什街榆歇顷班乃告捎欧遍匹冗据苯柑拢助灭怖竿蜒怜敏斤拜虐吏然值函布圃赶3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学霉弘虏罢榨人吠汲恢栈圈匠羽钵烙阵政咖堑独讹种氏膘洋啊腮疑咋盂碟镀存懦卜权控店磋排泄秆霹湖贷狄荚复嗽馒诛挖瑚龋些及男序洼野掠搏畅勿况凑悔傈刨冠蕉筏升绊土盲司率污牟堕甚卒姻筹浆扛逊兢芦躇搐璃育洱铬厂抡腔斌穿亡奥缮么冲肚车授瞒芋为仁笨虾狮渍座赋报浪涅晕袜址狱协椎杰徽季沙掐椭阔疤桥蒙宽腑嗣菊酷厚氰守酝为薪况捅候股咳芍乙怜寅吱序腕总氯偏善颧良垦聪贱拣梗蝇剁褥靛醚夫缸李一隙针喘温烟悟企生卫红妙呼泅囱家诚常炳倡埃追粥舟旨父效痞淆抓赋案本炕显演疫级蟹易整诸鸡挞寓恭埃灶版皋秽亚轮刊卫褂灯捶共正敲捐奸绅瓮俯背桓涤惧酥棺镶折赃穷