高一数学下册暑假知识点检测试题34.doc

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第二章自主检测
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．在三棱锥V­ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是(　　)
A．VA⊥BC B．AB⊥VC
C．VB⊥AC D．VA⊥VB
2．下列命题中，错误的是(　　)
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
3．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则(　　)
A．P⊂α B．Pα
C．lα D．P∈α
4．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．不能确定
5．如图2­1，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

图2­1

A. B. C. D.
6．如图2­2，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且Cl，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

图2­2

A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
8．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．
其中使“x⊥z，且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是(　　)
A．③④ B．①③ C．②③ D．①②
9．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
10．如图2­3，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(　　)

图2­3

A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．如图2­4，正方体ABCD ­A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于__________．

图2­4

12．如图2­5，在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：

图2­5

①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的是________．
13．如图2­6，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1，则二面角C1­BD ­C的正切值为________．

图2­6

14．设x，y，z是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是____________(把你认为正确的结论的代号都填上)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．
三、解答题(共80分)
15．(12分)如图2­7，点P是△ABC所在平面外一点，AP，AB，AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.

图2­7

16．(12分)如图2­8，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，求证：P，Q，R三点共线．

图2­8

17．(14分)如图2­9，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．
(1)求证：A1B1∥平面ABE；
(2)求证：B1D1⊥AE.

图2­9

18．(14分)如图2­10，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．

图2­10

19．(14分)如图2­11，在空间四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB.
求证：(1)EF⊥CD；
(2)平面DBC⊥平面AEF.

图2­11

20．(14分)如图2­12，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2­13所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积VF­DEG.

图2­12 　　　图2­13

第二章自主检测
1．C　2.A　3.D　4.C　5.D　6.D　7.B　8.C　9.D　10.D
11．90°
12．①②　解析：显然AC∥DE⇒AC∥平面PDE.取等边三角形ABC的中心O，则PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.
又BO⊥AC，因此AC⊥平面POB，则AC⊥PB.
∴①，②正确．
13.　14.①③④
15．证法一(定义法)：
∵AB⊥AP，AC⊥AP，
∴∠BAC是二面角B­PA­C的平面角．
又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝.
∴平面PAC⊥平面PAB.
证法二(定理法)：
∵AB⊥PA，AB⊥AC，AB∩AC＝A，
∴AB⊥平面PAC.
又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PAB.
16．证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴由公理3知，P，Q，R三点共线．
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC⊂平面APR.
又∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
17．证明：(1)
⇒A1B1∥平面ABE.
(2)连接A1C1，AC.
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
而B1D1⊂平面A1B1C1D1，
则AA1⊥B1D1，又B1D1⊥A1C1，
且AA1∩A1C1＝A1，则B1D1⊥平面AA1C1C，
而AE⊂平面AA1C1C，则B1D1⊥AE.
18．(1)证明：如图D64，连接AC交BD于O，连接EO.
∵ABCD是正方形，则又E为PC的中点，∴OE∥PA.
又∵OE⊂平面BDE，PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE.

图D64 　图D65
(2)如图D65，过D作PA的垂线，垂足为H，
则几何体是以DH为半径，
分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体，
∵侧棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DA，PD＝4，DA＝DC＝3.
∴PA＝5，DH＝＝＝.
V＝πDH2·PH＋πDH2·AH
＝πDH2·PA＝π×2×5＝π.
19．证明：(1)AD⊥平面ABC，可得AD⊥BC.又∠ABC＝90°，得BC⊥AB.则BC⊥平面ABD.
又AF⊂平面ABD⇒
⇒⇒⇒
⇒⇒EF⊥CD.
(2)由(1)已证CD⊥平面AEF，
又CD⊂平面DBC，
所以平面DBC⊥平面AEF.
20．(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴＝.
在折叠后的三棱锥A­BCF中也成立，∴DE∥BC.
∵DE平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.
(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝.
∵在三棱锥A­BCF中，BC＝，
∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
(3)解：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴VF­DEG＝VE­DFG＝××DG×FG×GE＝××××＝.

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