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(时间60分钟,满分80分)
一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)
1.已知a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
解析:a=1,b=0,∴a+b=1.
答案:C
2.下列各组函数中表示同一函数的是( )
A.f(x)=x与g(x)=()2
B.f(x)=|x|与g(x)=
C.f(x)=x|x|与g(x)=
D.f(x)=与g(t)=t+1(t≠1)
解析:A中定义域不同,B中解析式不同,C中定义域不同.
答案:D
3.已知函数y=使函数值为5的x的值是( )
A.-2 B.2或-
C.2或-2 D.2或-2或-
解析:由题意有x2+1=5,得x=±2,又x≤0,所以x=-2;
或-2x=5,得x=-,又x>0,舍去.
答案:A
4.已知函数f(x)满足f()=log2,则f(x)的解析式是( )
A.f(x)=log2x B.f(x)=-log2x
C.f(x)=2-x D.f(x)=x-2
解析:根据题意知x>0,所以f()=log2x,
则f(x)=log2=-log2x.
答案:B
5.定义两种运算:a⊕b=,a⊗b=,则函数f(x)=的解析式为
( )
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
解析:∵2⊕x=,
x⊗2==|x-2|,
∴f(x)=.
又其定义域为{x|-2≤x<0或0<x≤2},
∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].
答案:D
6.某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10℃.令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( )
解析:C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,所以起点和Q(t)气温一样;又已知该年的平均气温为10℃,所以t=12时,C(12)=10℃;t=6时,C(6)接近0,再由C(t)在[6,12]上逐渐上升,再慢慢下降至10℃知选A.
答案:A
二、填空题(共3个小题,每小题5分,满分15分)
7.已知f(x-)=x2+,则函数f(3)=________.
解析:∵f(x-)=x2+=(x-)2+2,
∴f(x)=x2+2,∴f(3)=32+2=11.[来源:学_科_网]
答案:11
8.下列对应中,是从集合A到集合B的映射的是________.
(1)A=R,B=R,f:x→y=;
(2)A=,B=,f:a→b=;
(3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;
(4)A={平面α内的矩形},B={平面α内的圆},f:作矩形的外接圆.
解析:(1)当x=-1时,y值不存在,所以不是映射.
(2)A,B两集合分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B=,由对应法则f:a→b=知是映射.
(3)不是映射,如A中元素1有两个象±1.
(4)是映射.
答案:(2)(4)
9.设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以3的余数,则对任意的x∈N,给出以下式子:
①f(x)≠g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1.
其中正确的式子编号是________.(写出所有符合要求的式子编号)
解析:当x是6的倍数时,可知f(x)=g(x)=0,所以①不正确;容易得到当x=2时,g(2x)=g(4)=1,而2g(x)=2g(2)=4,所以g(2x)≠2g(x),故②错误;当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确;当x∈N时,x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数,所以f(x)和f(x+3)中有一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确.
答案:③④
三、解答题(共3小题,满分35分)
10.若函数f(x)=(a≠0),f(2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,求f(x)的解析式.
解:由f(2)=1得=1,即2a+b=2;
由f(x)=x得=x,变形得x(-1)=0,
解此方程得x=0或x=,
又因方程有唯一解,∴=0,
解得b=1,代入2a+b=2得a=,
∴f(x)=.
11.已知f(x)=x2-1,g(x)=
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值;
(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式.
解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,
∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2.
(2)当x>0时,g(x)=x-1,
故f[g(x)]=(x-1)2-1=x2-2x;
当x<0时,g(x)=2-x,
故f[g(x)]=(2-x)2-1=x2-4x+3;
∴f[g(x)]=
当x>1或x<-1时,f(x)>0,
故g[f(x)]=f(x)-1=x2-2;
当-1<x<1时,f(x)<0,
故g[f(x)]=2-f(x)=3-x2.
∴g[f(x)]=
12.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解:(1)依题意,本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元),而出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元),销售量为
1 000×(1+0.6x)(辆).
故利润y=[1.2×(1+0.75x)-(1+x)]×1 000×(1+0.6x),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度利润比上一年有所增加,
则y-(1.2-1)×1 000>0,
即-60x2+20x+200-200>0,
即3x2-x<0.
解得0<x<,适合0<x<1.
故为保证本年度利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围是0<x<.
希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德
薄雾浓云愁永昼, 瑞脑消金兽。 佳节又重阳, 玉枕纱厨, 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后, 有暗香盈袖。 莫道不消魂, 帘卷西风, 人比黄花瘦。
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