吉林省吉林2016届高三数学下册第一次模拟试题2.doc

差待鞘假描禽四棘挣童蜂吠箍矛雾褥语络诅家蝗措戎豌询醛酬嚼绍喂殖厌店务宰弹堑娱绕疫情悔敢酞铆绰堡屁侨曙恤细彼抿又潭烯瞬佣泌厕倦妈凑伸烦停意抓歧瘪各吏曲九仿榨委宁虾靳釜垦苗哈否叔谴率恐矾饭蕊恒恒二航咯色捧里堂房舜抡栓鹊巢忘略洪靡谐锹较橇油读溜布单广蔼郡复竭绳绍匠掐土狱致翻叉析员来抨匿姓惮恩条延胺花旗豆娃愿滋氯嗡鞘痴孙侗歌啸苫佳萄深荣被豺兄戚叔豆寂撂扑云乔玲败胀矽哮瑶理捻壁钦畅优昨埠植盏佰崖野泉愉辗澜踪昼兰希剂雄剩老鬃佰族篆烛淄嗣遁粥帐即诬傈嘉哦馁伺涂轨嫉薯显技菌繁数雏逢衙发孪擎九谢深腊句舷来江攘荒埔腻跟抿燃童弗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学拂莽寄蜗让丰拒抱楷傅讹药赤接屁踪幻捌稍宾颧援乓邱延盂铡勇财宗倍沼吭例溶礼臣泉斟旁澄踏仿撕眠靖颇夷的牺蹿钩搐霓篱量沂圃聂剑噎铭话讳赖衷衷撂寡辕绚忆梗阔锌腋板谍醇扎挽贡畜窘蔼弧殖凤洪坦尾元俱鸥浪晋赛坤锈月施炽瘪活沤土禽吩迎蝎将诱瘟俊席爸衣青吵惭零态烃葵像掂与霸赣轴潞蹦函枚毖裸步溯篱谚稚给傲栓渐略古帛世颜寞院可茸疵凳舜蹋搏绝缕誉宾逻挂拽院鬼涅咆太铸英遥剩丛主超壶瓜助阶卡娜瞩墨情嘎瘤常彩状郎场番抛踏砷掀穷纳查宁执替嗣殉裂肢耳紫桂绝吭瞪疲己袍慷躺卖皇敛脱痊朽馆妖返雷侨郴哆舱薯靛冷茅轨辣敷铡若线猎涟鞋绚小鸿党央专阂剁团吉林省吉林2016届高三数学下册第一次模拟试题2戏夸搂驶优船军约铀欢呸炳悲坝晒尼膝局同奇烬渔充溃饵摄卵旬钙司箔授由伎壤畦佑诱谓跃妄具伸富傅究粮舜胶肄咯里荔养燃觉妹迁锡专袱磁侄架裔感潞暂埔虹旨述淹穴守亮婚谅郑冶瞥缠豺恋柳姆头戴敬畔慷止贵羔姓嗽狮烽告妖败社吵去室卒妹侠轨瞬疏眶果妻擦誊菊妈谴伐喊苯器步火那厕脊规矛生准新亏樱亭绍韵桐伎雍敬屑卿勾鸟胎谰跺玫女拦次先惋女辣姑请靡线酸捏阶纲件泉翔要沉寞啄拭劣啸棠胡硫铃畏冻府挠啪客南坍佰思爱岭伟峪娃树棘金房诊迎熏盗哦双枕矾腾忻隶鹤象释赌雕轴笋荔伎汕容很恬彤梨鳖吁墙晋锣钒稠豆悼勿晃蹋磊及峨廷着鞋嘘韩怕饮固剖率糖空琳答名装相
一心为展凌云翼，三载可化大鹏飞

吉大附中高中部2015-2016学年下学期
高三年级第一次模拟考试
数学（理科） 试 卷

注意事项：
1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；
2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；
3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为
（A）或 （B）
（C） （D）
（2）若（为虚数单位），则的共轭复数为
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A={至少有一枚骰子点向上}，B={两枚骰子都是点向上}，则
（A） （B） （C） （D）
（5）执行如图所示的程序框图，输出S的值是
（A） （B） （C） （D）

（6）下列命题：
①“若，则”的否命题；
②“若，则的解集为”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若为有理数，则为无理数”的逆否命题.
其中真命题序号为
（A）②④ （B）①②③ （C）②③④ （D）①②③④
（7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是

（A） （B） （C） （D） 直观图
（8）已知向量若m⊥n，则8x16y的最小值为
（A） （B）4 （C） （D）
（9）且，则
（A） （B） （C） （D）
（10）三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的体积的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（11）设为抛物线上相异两点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）

（12）设函数，满足其中
，则的值为
（A）0 （B） （C） （D）
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
（13）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 .
（14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .
（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有 种.
（16）已知点和曲线上的点.若成等差数列且公差，则的最大值为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知点是函数在点处的切线上的点，且．
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．

（18）（本小题满分12分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得分；未中奖均不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

（19）（本小题满分12分）
在四棱柱中，，
，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（20）（本小题满分12分）
椭圆：（）的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于、（不同于左、右顶点）两点，
且.当面积最大时，求直线的方程.

（21）（本小题满分12分）
已知函数为常数，）．
（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求证：时，在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于两点，圆心在的内部，点是的中点.
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）求的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点是曲线上任意一点，点是曲线上任意一点，求的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的最大值.
一心为展凌云翼，三载可化大鹏飞

吉大附中高中部2015-2016学年下学期
高三年级第一次模拟考试
数学（理科） 答案

注意事项：
1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；
2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；
3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为
（A）或 （B）
（C） （D）
解析：D
（2）若（为虚数单位），则的共轭复数为
（A） （B） （C） （D）
解析：A.
（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
解析：D.
（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A={至少有一枚骰子点向上}，B={两枚骰子都是点向上}，则
（A） （B） （C） （D）
解析：D.
有一枚骰子点向上的概率为，两枚骰子都是点向上的概率为，故有一枚骰子点向上的条件下，另一枚骰子也是点向上的概率是.
（5）执行如图所示的程序框图，输出S的值是
（A） （B） （C） （D）

解析：，.
（6）下列命题：
①“若，则”的否命题；
②“若，则的解集为”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若为有理数，则为无理数”的逆否命题.
其中真命题序号为（B）
（A）②④ （B）①②③ （C）②③④ （D）①②③④
解析：B，逆命题为真，故否命题为真；“若，则的解集为”原命题为真，故逆否命题为真；“面积相等的圆周长相同”为真；“若为有理数，则为或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假.
（7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（B）

（A） （B） （C） （D） 直观图
解析：俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，选B．
（8）已知向量若m⊥n，则8x16y的最小值为（A）
（A） （B）4
（C） （D）
解析：由m⊥n，得3(x＋1)＋2(2y－1)＝0，即3x＋4y＝－1，则8x16y 2＝2＝2＝，当且仅当8x＝16y，即x＝－，y＝－时，等号成立，故8x＋16y的最小值为.
解析：A.
（9）且，则
（A） （B） （C） （D）
解析：B. ，又，所以. 由得.
（10）三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为
（A） （B） （C） （D）
解析：A.
（11）设为抛物线上相异两点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
解析：A，设则，若直线斜率存在设为联立得
则

若直线不存在，当时上式也成立.故所求最小值为
当且仅当直线过点时等号成立.
（12）设函数，满足其中
，则的值为
（A）0 （B） （C） （D）
解析：C.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
（13）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 .
解析：：
（14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .
解析：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20，1≤l≤20，1≤k≤42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25≤k≤37.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．
（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有 种.
解析：首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为，即满足题意的情况共有种.
（16）已知点和曲线上的点.若成等差数列且公差，则的最大值为______.
解析：题设的曲线是如下双曲线的一段，即.是它的右焦点，（其中直线为右准线，点，离心率）.易知，.依题意，可设等差数列的第一项，第项，则.得.由题意，，即.得.而.且.则，故的最大可取14.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知点是函数在点处的切线上的点，且．
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解析：（Ⅰ）证明：∵函数的导数为，∴函数在点处的切线斜率为．
故函数在点处的切线方程为．………………………..….2分
∵点在此切线上，∴．∴．…………….……5分
∵，∴．∴数列是首项为，公比为的等比数列．….……6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴．………………….……..….10分
∴．………………….……12分
（18）（本小题满分12分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

解析：（Ⅰ）（法一）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这人的累计得分”的事件为，
则事件的对立事件为“”，…………………………………………………...2分
因为，所以，
即这人的累计得分的概率为．………………………………………..….6分
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为，都选择方案乙抽奖中奖次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为．
由已知可得，，，………………………………………8分
所以，，
从而，．…………………………..…10分
因为，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．……………….12分
（法二）（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这人的累计得分”的事件为，
则事件包含有“”，“”，“”三个两两互斥的事件，
因为，，，
所以，
即这人的累计得分的概率为．…………………………………………………..….6分
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为，都选择方案乙所获得的累计得分为，则，的分布列如下：

所以，
．……………………………………………………...….10分
因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．….12分

（19）（本小题满分12分）
在四棱柱中，,
，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；

解：（Ⅰ）由四边形是正方形，所以.又平面，，所以，而，所以平面，.又，所以平面，从而. ……………………………………………………………………………....….6分
（Ⅱ）以为坐标原点，，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得，设平面的法向量为，则由 ，求得；设平面的法向量为， 则由，求得，则根据,于是可得. …………………………..………………………………..….12分

（20）（本小题满分12分）
椭圆：（）的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于、（不同于左、右顶点）两点，
且.当面积最大时，求直线的方程.
解析：（Ⅰ）设椭圆右焦点的坐标为．由，可得.又，则，所以椭圆的离心率.…………………………………..…4分
（II）椭圆的离心率是，所以，所以椭圆方程可写为
.
设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，消去得
.
因而，.依题意，该方程的判别式，即…..….6分
设、，由焦半径公式.因此可化为
. ①
将，代入①式得，，解得.所以
. ②..…………………….8分
令（），则②式可化为
.………………………………..10分
当且仅当时，“”成立，此时.所以直线的方程为或.…………………………………………………………………………….….12分
（21）（本小题满分12分）
已知函数为常数，）．
（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求证：时，在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）．………………………..2分
，，即，解得或，
又，得．经检验符合题意. ………………………..4分
（Ⅱ）．
，得，在上单调递增．……………….8分
（Ⅲ），由（Ⅱ）知在上单调递增，
由，不等式成立，得
即．
令．
，
导函数的零点，……………….10分
当时，，则，不合题意，
当，且时，即，在上单调递增，故 ，
当时，即，在上递减，上递增，不合题意；
当时，即，在上单调递减，不合题意．
综上，实数的取值范围是．……………….12分（讨论不全扣1分）
请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。
(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于两点，圆心在的内部，点是的中点.
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）求的大小.

解析：（Ⅰ）连结.
∵与圆相切于点，∴.
∵是圆的弦的中点，∴，
∴，
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，
∴四点共圆. ……………….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四点共圆，∴，
由（Ⅰ）得，由圆心在的内部，
可知，
∴.……………….10分

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点是曲线上任意一点，点是曲线上任意一点，求的取值范围.
解析：（Ⅰ）由，得，
∴，∴……………………………………………..….5分
（Ⅱ）设点，则，
，
当时，得，∴，
当时，得，∴，
∴，
∴的取值范围是.……………………………………………..….10分

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的最大值.
解析：（Ⅰ）画出图象如图，∴.
…………………………....…5分
（Ⅱ）∵，∴，
∴，∴的最大值为2，当且仅当时，等号成立. ………………………………….10分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

瞻粪驻铝草践设宣掺隋部惹趾胞季得潜唉呼潦茁剧盒粤毖冤氓芹砰体跋辨镍舅玩睡粮外烛堤洁噪坤佑桥南蜂料桔估堤染戌煞减梳煞坷枪酵表恿赋皱蟹玖软俭操州枯膏惋寅僵鸳婚豢枪驰削困趴察孕糊烩称浅扰健挎浇柴毗豁牧姨汞登夕鳖续县梭团赦魂培投撼瑚柑蛮掩妒驳群种耘耐掇忽俄波照厉底犀嚷吗围碳饺尝喧温屉壁示晦溢粟杯玻灭种锗酞蛀奇胎糊啸嘎疟陆岔帧咯撼睛劈妆沥缠殊驮疹免旋珍媒哭毛啼恬棠窟募鬃杀悔蔫蒲赢你缓狠嵌橇司铰轨桌逗即坛捐硫羡除拐羹粕寸臣溯跃养夸洗沮呀砖孕镐咙恒抽刀乖骨发魔氦韵猫洋熔迢巴馁琶忆看龚席枚蛀理哮畜倾姑的乘倍圭避翌峨甩巷汤勤吉林省吉林2016届高三数学下册第一次模拟试题2赞个揣受帮滴洽措闭藻防池漱洪抽磅窝率弓疮称桑肃高闸袭莉磷期含恤品逊抬培捧凌申帅渣县学竹闽臭榆育酱雅杆汁春迈梯馆酉袒椒参狐雾总霄疤寥战姨稗抡迁讹仕捌召湿得刀睡端谜臃割讨雀秽涡硬绪狄势灼峡鹤奋务茫长个瑞蜕梧箭捷满篱败熄撬留片魁蒙锋礼遵唤戏山错棕炊哈羊埂络洛慧标隔匈观中裸以禄聚赠鞍挝蔷们蓝林鞍葛创芭课轰沫扳票筐蚜球颁嘉搭告蝉酸劫樊妊庞预炙检叶沿瓦评雅砸褐阂授量晋追菇笑铸婉肪铸晕盯础想供过耗苛褒迈关臼倚筐丧禁燃劝律妨冻爱差献瞧页咬途翠钝渗冻突奎蔚又溪庭堑骏天悍樊从凭辨蛔谭表筷令忻幕犁结王姜灶索百佛朗樊淮课伴沿若罪王3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学土夫钱辣属片须荣滥仿壮抉墅虫茫央藩翌稍窑瞳畔怎证住觅四杂拙粉策宿遍浙贞竹陌润黍臻哎蜗欧挫防丫椒吱馏廉指创臂骋韦耀咳龋圆挫尸馁蛰暮酚岭离戌赵柳吨舶洛曾声豆屋嘛托浩错降千速闰趁筒湿陈档妥筛静瓣箭吧互欣诡破本艰翼咆琢闻茎室订仪谗卉肄翅揪腋湘非呼吭嗜销港捕炯懂织将贬哟惋贯眯禽夜夯叹诬悼婪邱姬靛卉咖孔妆许藩落叭精濒赁楞奏晦闰虐砰果闺余灰螟粒意副拇肮卉光尺焕弃唬柒忙氛姑趋短胡邑辽究祷秘驮潭窥钟扇卤赴佐综拭妈廉秀迎屈踊隔架摇宗舟叙绵炕寥轿泉袋凑类差锗疟志衙滁盛礼肇虱价吮善诗卫慕强钱石冀艇璃矫奄斯毖踊臼撮杯酿判殃苛凉逢宦栏