高考数学专题复习测试卷9.doc

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第十二讲 函数与方程
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.方程x-=0的实数解所在的区间是()
A.(-∞,-1)B.(-2,2)
C.(0,1)D.(1,+∞)
解析:令f(x)=x-,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B合适.
答案:B
2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()

解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除A､B,因为A､B不符合f(a)·f(b)<0.
答案:C
3.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是()
A.0,2B.0,y
C.0, -yD.2,- y
解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,∴b=-2a,则方程bx2-ax=0变为2ax2+ax=0.∵a≠0,∴2x2+x=0,∴x1=0,x2=-y.
答案:C
4.(2010·合肥模拟)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是()

解析:设f(x)=x2+ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)≤0且f(5)≥0即可,解得-≤a≤1.
答案:C
5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
-5
2
8
12
-5
-10
则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有()
A.5个B.4个
C.3个D.2个
解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点.
答案:D
6.(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则()
A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
解析:由于函数g(x)=在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)<0,在(x0,+∞)上f(x)>0,故选B.
答案:B
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________.
解析:由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式a·f(-2x)>0即-(4x2+2x-6)>0,即2x2+x-3<0,解集为{x|-”<x<1}.
答案:{x|-”<x<1}

8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?
答案:4
9.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=,画出y=lg(x+2),y=的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.
答案:2
10.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.
解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=
所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a的最小值为2.
答案:2
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=y [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,
所以函数f(x)有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-y [f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)- y [f(x1)+f(x2)]
=
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.
12.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.
解:依题意,方程22x+2xa+a+1=0有实数根.
令2x=t(t>0),则t2+at+a+1=0,

13.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,
即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,
∴m=4或m=-1.
②解法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2.
则x1+x2=-2m,x1•x2=3m+4.
由题意,知

∴-5<m<-1.
故m的取值范围为(-5,-1).
解法二:由题意,知

∴-5<m<-1.
∴m的取值范围为(-5,-1).
(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点.
故a的取值范围为(-4,0).
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