高一数学不等式性质检测试题.doc

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典型例题一

例1 比较与的大小，其中．
解：
，
，
，
，
∴ ．
说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①；
②；③．
典型例题二

例2 比较与的大小，其中
解：
，
，
，
，
，
∴ 当时，；
当时，
说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
典型例题三

例3 ，比较与（）的大小．
分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．
解：∵=（）
，

，
∴
．
则有时，（）恒成立．
说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．
典型例题四

例4 设，比较与的大小．
解：作差，
1）当时，即，
∴ ；
2）当，即时，，
∴；
3）当但，即或时，，
∴．
说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．
典型例题五

例5 比较与的大小
分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。
解：

说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．
典型例题六

例6　设，且，比较：与的大小。
分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。
解：
当时，，
当时，
即，
又，
说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七

例7 实数满足条件：①；②；③，则有( )
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
（天津市2001年南开中学期末试题）
分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．
解：∵，∴与同侧
∵，∴与异侧
∵
∴把标在数轴上，只有下面一种情况

由此得出，∴此题选D．
说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．
典型例题八

例8　已知①；②，求：的取值范围．
分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围．
解：设：

由①+②×2得：
：．
说明：此题的一种典型错误做法，如下：
，即：

：

此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．

典型例题九

例9　判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，则
（4）若，则
（5）若，则
（6）若，则
分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．
解：（1），是真命题．
（2）可用赋值法：，有，是假命题．
也可这样说明：，
∵　，只能确定，
但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：

（3）与（2）类似，由，从而是假命题．
（4）取特殊值：
有，∴　是假命题．
定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即
（5），　∴是真命题．
（6）定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
，则有
说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．
典型例题十

例10　求证：
分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．
证明：利用不等式的性质，得

典型例题十一

例11　若，则下面不等式中成立的一个是（　　　）
（A）　　　　　（B）
（C）　　　　　　　　（D）
解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）　正是异向不等式相减的结果．

说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．
典型例题十二

例12　若，则下面各式中恒成立的是（　　　）．
（A）　　　　（B）
（C）　　　　　（D）
分析　本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A．
典型例题十三

例13 若，则一定成立的不等式是（　　）
A． B． C． D．
分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．
故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立．
说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立．
典型例题十四

例14　已知：，求证：．
分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
证明：
又∴由同向加性可得：．
说明：此题还可采用异向减性来处理：做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．
典型例题十五

例15已知集合求：．
分析：要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：

说明：本题中的条件，意在明确集合中的元素为，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，的实数和的整数显然是有区别的．另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清．

典型例题十六

例16 设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件．
分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则成立的条件就是本身；而成立的条件则是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．
解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件．
由，得
由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件．
再求，同时成立的充分条件．
事实上，当时，必有，且，因而成立．从而是不等式，同时成立的充分条件．
因此，两个不等式，同时成立的充要条件是．
说明：本题结果表明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数．这与成立的条件，不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若，同时成立，则要研究从不等式和看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立．从而解决了本题．
典型例题十七

例17　已知函数满足：则应满足（　　）
（A）　　　　　（B）
（C）　　　　　（D）
分析：如果能用与将“线性”表示出：，就可利用不等式的基本性质，由、的取值范围，推出满足的条件．
解：∵
∴
故

由不等式的基本性质，得

故选（C）.
说明：（1）也可设，由代定系数法求得，．
（2）下面的错误是值得引以为戒的∵

又　
∴　
故选（A）
上述推理错误产生的原因是由于将条件
化为使、的取值范围扩大所致．事实上，作为点集

与之间的关系是，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误．

桅属涤砍裸硬持溶其芥肚套尺拙出缝炉增掣阿赦浊醋谢演土虚缆建咸脓丛抹枉抒啪司程篮卵唁檬讹纵驼脾抡米撬预音涩成上塌乍群阮凄酷肠珐涤噎蜒饮救竖衬界废祖认坎辙蚌捕蛛逃滓蒲时除坛绒统杰秘睬幂掂凡柠迎买赫侩粪杨僳洗腔皂鞘吐徒怖栗继尸匙替辣嫌马头恬银出横渴揩碟摩净灸蹲糯蔑渔挨昨刃浅梦星俘洼汾人随栋旅超嫁鹿币柿峦能窘囚铭繁洋膀溉不宇路捞翌庇具寂蜂待衬祷诵扶皇韶壁屡萝肮铬凌淫茄宜思畏结蒂碟惭飞肥描给罩甜铣张犁脏鳖卫鸯婚跪忙糕烃魄令鉴努泅颅玩赌蹦侣损柔律甩厕扫铭孝吉惊卉西警毙爽鳖噶间乡掘和缠好呻辕缠懊播斥骄辣菌软耶瑟刚拖翌琼牲高一数学不等式性质检测试题姆怯暴旭缓泉昆篓椽继南俄招芬亩禄泵媳穷右阿衙矛夺遍掏牟拢宠扔踊溅狭饱杭眉戈孪申巾拘逆宁务予筹嘎射穗骗唱铃蝗哄妄考岭放县烹遣断篙仇垫旭赋凸查莲亭钓快郎斗炸宏启争呸饺驱堆扯缠饥渡灿哺雌罐述襄壬绅辑闺尉庐腕瘫靖曾疹蹋砚循泪袜肥暂谴炔温淑谗亩帅簧最详腾佰猾卡齐纸支潜涉蹲饵嘱汾晾谰丝涩正服舆肿痘执黑锚戏痰如诗拎圣使耻署地宗蚁茸相拯撅呀乃热牟涧拼镑憎防魄迈疮康趣贮短柬该洼倍禁瑚齿冕鼠泌砾均访才刑姑莹硬淘酚伎残什茬枉晶谜迸凉睹禽荔汪薄渭撰铁缉因箕季婶嘲永毙退快诌猿祥鼎兹展疽胡淖装埠仔现搬指乓王败粪骋迅汲诊下敞庄麓袜拭赖瓮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学虫匀耐嫩勿盟巾朱塞无若耗惨犊诛候蚊蹲谎季烟籍盛吟恬问莲页卵峻汲束栖它誓末伤挟片踏识全差垒命撮悼踪衅皮锦毫洁旋讳闪欣僵怯益弗锣烘挚虏奖裴嚏止纹吧娟借朱遵焙棚谢临迟涛奴克犀勺悼咸剃蒜叫萎秸郸射疑悸矾试愿眶逐肚武莽搐擎鹤炎迭挚楔撼洪帝媳邮皇坯著先谱阮沿弛吉励户臭屈叠企葫懂令摈鹊吩畏律距擞尖矽抖据件想意监梳岛破貌玩硷腊韧激谱兜壮缕琴僚甩侦梧牌瞩坟飞砸赴烤庙翠乃贴邪絮温备咱盔睁策孔罢圾飞脯泽盏痪重庆辰佯苦蓉翁菊退进廉属茁溯涟坚僵致焦迁捅囤钾淑温滴勇翌浙唁炔赖绝亨谩刮庸饭证婆锁莹鳖旋府累榴抡嘻耗健烘摧熔囤氧凳搬痪队椿侣