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第三节 等腰三角形与直角三角形
1.(2015北京中考)如图,公路AC、BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M、C两点间的距离为( D )
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
(第1题图)
(第3题图)
2.(2014滨州中考)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( B )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,,3
3.(2015青岛中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△BAC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=( C )
A. B.2 C.3 D.+2
4.(2016遵义红花岗二模)如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为( D )
A. B.2 C. D.
(第4题图)
(第5题图)
5.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB,若BC=2,则AC的长为( B )
A. B.1 C. D.2
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是( C )
A.20 B.10 C.5 D.
7.(2015陕西中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( D )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.(2016淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是__10__.
(第7题图)
(第9题图)
9.(2015聊城中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,若AB=6,则点D到AB的距离是____.
10.(2016遵义航中二模)已知:一等腰三角形的两边长x,y满足方程组则此等腰三角形的周长为__5__.
11.(2016遵义十一中二模)如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)∠F=30°;(2)DF=4.
12.(2016汇川升学模拟)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF=( B )
A. B. C. D.
(第12题图)
(第13题图)
13.(2016汇川升学二模)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,……,按照此规律继续下去,则S2 015的值为( C )
A. B.
C. D.
14.(2016遵义升学三模)如图,在Rt△ABC中,∠A是直角,AB=3,AC=4,分别在Rt△ABC、Rt△DBE、Rt△FEC内作正方形ADEF、正方形DGHI和正方形FJKL,如果顶点H、E、K恰好落在Rt△ABC的斜边BC上,那么DG+FL的值为( A )
A. B. C. D.
(第14题图)
(第15题图)
15.(2016淮安中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__1.2__.
16.(2016遵义升学三模)如图,在等腰Rt△ACB中,∠ACB是直角,AC=BC,把一个45°角的顶点放在C处,两边分别与AB交于E、F两点.
(1)将所得△ACE以C为中心,按逆时针方向旋转到△BCG,试求证:△EFC≌△GFC;
(2)若AB=10,AE∶BF=3∶4,求EF的长.
解:(1)由旋转知:△BCG≌△ACE.∴CG=CE,∠BCG=∠ACE,∵∠ACE+∠BCF=45°,∴∠BCG+∠BCF=45°,即∠GCF=∠ECF=45°,而CF为公共边,∴△EFC≌△GFC(SAS);(2)连接FG,由△BCG≌△ACE知:∠CBG=∠A=45°,∴∠GBF=∠CBG+∠CBF=90°,由△EFC≌△GFC知:EF=GF,设BG=AE=3x,BF=4x,则在Rt△GBF中,GF=5x,∴EF=GF=5x,于是3x+5x+4x=10,解得x=,∴EF=.
17.(2015菏泽中考)如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.
(1)如图,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC,DF,CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图,E是直线BC上的一点,且CE=BD,直线AE,CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数,若不是,请说明理由.
解:(1)△CDF是等腰直角三角形.∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∠FAD=∠DBC.∵AD=BC,AF=BD,∴△FAD≌△DBC.∴FD=DC,∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°.即∠CDF=90°.∴△CDF是等腰直角三角形;(2)过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DF,CF.∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.又∵BD=CE,AF=BD,∴AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形.∴FC∥AE.∴∠APD=∠FCD.由(1)知∠APD=45°.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光,千里冰封,万里雪飘。
望长城内外,惟余莽莽;
大河上下,顿失滔滔。
山舞银蛇,原驰蜡象,
欲与天公试比高。
须晴日,看红装素裹,分外妖娆。
江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武,略输文采;
唐宗宋祖,稍逊风骚。
一代天骄,成吉思汗,
只识弯弓射大雕。
俱往矣,数风流人物,还看今朝。
薄雾浓云愁永昼, 瑞脑消金兽。 佳节又重阳, 玉枕纱厨, 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后, 有暗香盈袖。 莫道不消魂, 帘卷西风, 人比黄花瘦。
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