2018届高考科科数学第二轮复习综合能力训练20.doc

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押题模拟(四)
时间：120分钟　满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|2x≤1}，B＝{x|ln x<1}，则A∪B＝(　　)
A．{x|x<e} B．{x|0<x≤e}
C．{x|x≤e} D．{x|x>e}
2．(导学号：50604266)设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则＋＝(　　)
A.＋i B.－i C.i D．－i
3．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2∶3∶5，现从该学校中抽取一个容量为100的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为(　　)
A．200 B．400 C．500 D．1000
4．(导学号：50604267)已知ω>0，设x1，x2是方程sin＝的两个不同的实数根，且|x2－x1|的最小值为2，则ω等于(　　)
A. B. C. D.
5．若平面向量a，b，c，d满足a＋b＝xc，a－b＝yd(x，y∈R)，且|a|＝|b|，c，d不垂直，则xy＝(　　)
A．1 B．2 C．－3 D．0
6．某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的外接球的表面积为(　　)
A．32＋8 B．36π C．18π D.π

7．(导学号：50604268)执行如图所示的程序框图，若输入的x为4，则运行的次数与输出x的值分别为(　　)
A．5,730 B．5,729 C．4,244 D．4,243
8．若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　)
A．－462 B．462 C．792 D．－792
9．若x，y满足：则z＝的最大值与最小值之和为(　　)
A. B. C. D.
10．(导学号：50604269)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中，已知a1，a2017的等比中项与b1，b2017的等差中项相等，且＋≤1，当a1009取得最小值时，等差数列{bn}的公差d的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
11．神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示．假设航天员到地球最近距离为d1，到地球最远距离为d2，地球的半径为R.我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为(　　)

A．d1＋d2＋R
B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R
D．d1＋d2
12．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋a)(a∈R)有唯一的零点x0，则(　　)
A．－1<x0<－ B．－<x0<－
C．－<x0<0 D．0<x0<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(导学号：50604270)若命题p：“∀x∈(－∞，0)，x2≥0”，则綈p为________．
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且它的一个顶点到较近焦点的距离为－1，则双曲线C的方程为________．
15．(导学号：50604271)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝g(x)＋x2，且当x≥0时，g(x)＝log2(x＋1)，则g(－1)＝________.
16．已知数列{an}，an＝(2n＋m)＋(－1)n(3n－2)(m∈N*，m与n无关)，若a2i－1≤k2－2k－1对一切m∈N*恒成立，则实数k的取值范围为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(导学号：50604272)(12分)
在△ABC中，D为BC的中点，∠BAD＋∠C≥90°.
(Ⅰ)求证：sin 2C≤sin 2B；
(Ⅱ)若cos∠BAD＝－，AB＝2，AD＝3，求AC.

18.(导学号：50604273)(12分)

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中， CC1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BB1＝3，AC＝BC＝2，D，E分别为AB，BC的中点，F为BB1上一点，且＝.
(Ⅰ)求证：平面CDF⊥平面A1C1E；
(Ⅱ)求二面角C1－CD－F的余弦值．

19.(导学号：50604274)(12分)
为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计，得到如下列联表：

买房
不买房
纠结
城市人
5

15
农村人
20
10

已知样本中城市人数与农村人数之比是3∶8.
(Ⅰ)分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；
(Ⅱ)从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计城市人的某项收入指标，假设一个买房人的指标算作3，一个纠结人的指标算作2，一个不买房人的指标算作1，现在从这6人中再随机选取3人，令X＝再抽取的3人指标之和，求X的分布列和数学期望．

20.(导学号：50604275)(12分)
已知点P在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上，F为右焦点，PF垂直于x轴．A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，满足＝，判断kAB＋kBC的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．

21.(导学号：50604276)(12分)
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(x>0)的图象与x轴相切于点(3,0)．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若g(x)＋f(x)＝－6x2＋(3c＋9)x，命题p：∃x1，x2∈[－1,1]，|g(x1)－g(x2)|>1为假命题，求实数c的取值范围；
(Ⅲ)若h(x)＋f(x)＝x3－7x2＋9x＋cln x(c是与x无关的负数)，判断函数h(x)有几个不同的零点，并说明理由．

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(导学号：50604277)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C的参数方程是直线l的方程是x＝ky＋1(k∈R)．
(Ⅰ)求曲线C的普通方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交所得的弦长是4，求实数k的值．

23．(导学号：50604278)[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知h(x)＝|2x－1|＋m|x＋3|(m>0)，且h(x)的最小值是7.
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)求出当h(x)取得最小值时x的取值范围．

押题模拟(四)
1．A　A＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}，B＝{x|ln x<1}＝{x|0<x<e}，所以A∪B＝{x|x<e}．
2．C　＋＝＋＝＋＝i.
3．B　因为从该学校中抽取一个容量为100的样本，学生甲被抽到的概率为，所以在整个抽样过程中每个学生被抽到的概率是，所以该学校的学生总数为＝400.
4．D　∵sin＝，∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π，又∵|x2－x1|的最小值为2，∴2ω＝，ω＝.
5．D　(a＋b)·(a－b)＝(xc)·(yd)，a2－b2＝(xy)(c·d)，因为|a|＝|b|，所以a2－b2＝0，因为c，d不垂直，所以0＝(xy)(c·d)，所以xy＝0.
6．B　该几何体是如图的直三棱柱，底面是一个边长为2和4的直角三角形，将它补成一个长方体，长、宽、高分别为4,2,4，则长方体与三棱柱的外接球相同，所以外接球的表面积为4π2＝36π.

7．A　设输出的x构成数列{xn}，
由已知得，x0＝4，xn＋1－1＝3(xn－1)，
所以xn－1＝(x0－1)·3n＝3n＋1，即xn＝3n＋1＋1，
因为3n＋1＋1>244⇔n≥5，所以运行的次数为5，输出的x为35＋1＋1＝730.
8．D　n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则可知n＝12，通项为Tr＋1＝(－1)rCx12－2r，
令12－2r＝2，所以r＝5，所以展开式中含x2项的系数是(－1)5C＝－792.

9．C　作二元一次不等式组的可行域如图所示，
由题意得A(1,9)，B(2,10)，C(3,8)，
当x＝1，y＝9时，zmax＝5，当x＝3，y＝8时，zmin＝，5＋＝.
10．C　由已知得，a1009＝＝≥＝＋·
≥＋＝，
当且仅当时取等号，
解得b1＝3，b2017＝6，
所以d＝＝＝.
11．D　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，两个焦点分别为F1，F2，运行中的航天员为P，由已知得，所以2a＝d1＋d2＋2R，神秘信号传导的最短距离为PF1＋PF2－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
12．A　依题意可知方程ex－ln(x＋a)＝0有唯一的实根x0，即曲线y＝ex与曲线y＝ln(x＋a)有唯一的交点，分别画出了函数的大致图象如图所示，可知f(x)在x＝x0处取得极小值，且极小值为0，所以ex0－＝0且ex0－ln(x0＋a)＝0，则有ex0＋x0＝0，设g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，所以g(x)＝ex＋x在上单调递增，g(－)＝e－－>0，g(－1)＝e－1－1<0，所以g(－)g(－1)<0，由零点存在定理知－1<x0<－，故选A.

13．∃x0∈(－∞，0)，x<0　由命题否定的含义得，命题“对任意x≤0，x2≥0恒成立”的否定为∃x0∈(－∞，0)，x<0成立．
14．x2－y2＝1　双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝－1，又＝，两式联立得a＝b＝1，所以方程为x2－y2＝1.
15．－3　∵f(－1)＝g(－1)＋1＝－f(1)，又f(1)＝g(1)＋1＝2，∴f(－1)＝2，g(－1)＝－3.
16．k≥3或k≤－1　a2i－1＝[2(2i－1)＋m]＋(－1)2i－1[3(2i－1)－2]＝－2i＋(m＋3)，
2i－1＝－2i＋(m＋3)]
＝＝m(4－2m)，
当m∈N*时，2i－1＝m(4－2m)≤2，
2i－1≤k2－2k－1对一切m∈N*恒成立，
所以k2－2k－1≥2，解得，k≥3或k≤－1.
17．解：(Ⅰ)设∠BAD＝α，∠CAD＝β，因为∠BAD＋∠C≥90°，所以α≥90°－C，β≤90°－B，
所以sin α≥sin (90°－C)＝cos C，
sin β≤sin (90°－B)＝cos B，
因为D为BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，
所以c·ADsin α＝b·ADsin β，
所以csin α＝b·sin β，所以ccos C≤b·cos B，
由正弦定理得，sin Ccos C≤sin B·cos B，
所以sin 2C≤sin 2B.6分
(Ⅱ)△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4＋9－12×＝16，
∴BD＝4，
∴cos∠ADB＝＝，
在△ADC中，CD＝BD＝4，
cos∠ADC＝－cos∠ADB＝－，
∴AC2＝9＋16－2×3×4×＝46，
∴AC＝.12分
18．(Ⅰ)证明：依题意可知CC1⊥平面A1B1C1，AC1⊂平面A1B1C1，∴A1C1⊥CC1.
又∠ACB＝90°，∴∠A1C1B1＝90°，A1C1⊥B1C1，
又CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1.
又CF⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥CF，
在△CEC1，△CBF中，∠C1CE＝∠CBF＝90°，tan∠CC1E＝tan∠FCB＝⇒∠CC1E＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠CEC1＝90°，∴CF⊥C1E，
又C1E∩A1C1＝C1，C1E，A1C1⊂平面A1C1E，
∴CF⊥平面A1C1E，
又CF⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面A1C1E.5分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)及题意知， AC，BC，CC1两两互相垂直，故以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，C1(0,0,3)，D(1,1,0)，F(0,2，)，∴＝(1,1,0)，＝(0,2，)，＝(0,0,3)．
设平面CDF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则∴
令y1＝－1，∴x1＝1，z1＝3，n1＝(1，－1,3)，
设平面C1CD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴
令x2＝－1，则y2＝1，∴n2＝(－1,1,0)．
设二面角C1－CD－F的平面角为θ，易知θ为锐角，
∴cos θ＝＝＝，
∴二面角C1－CD－F的余弦值为.12分
19．解：(Ⅰ)设城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是x，y人，则
解得
即城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是10,50人.6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到如下的列联表：

买房
不买房
纠结
总计
城市人
5
10
15
30
农村人
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取的6人中买房，不买房和纠结的人数分别是1,2和3，
所以X＝7,6,5,4，
P(X＝7)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X
7
6
5
4
P

X的数学期望是E(X)＝7×＋6×＋5×＋4×＝.12分
20．解：(Ⅰ)∵P在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1①.
又F为右焦点，PF垂直于x轴，
∴＝②.
由①②解得，a＝2，b＝1，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.4分
(Ⅱ)∵＝，∴4y1y2＝x1x2.
当直线AB的斜率不存在或斜率为0时，不满足4y1y2＝x1x2.
设直线AB的方程为y＝kx＋m(k∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)×4(m2－1)
＝16[4k2－m2＋1]>0(*)，

∵4y1y2＝x1x2，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
∴(4k2－1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，
∴(4k2－1)＋4km＋4m2＝0，整理得4k2＝1，∴k＝±.
kAB＋kBC＝＋
＝k＋＝2k＋
＝2k＋＝k－＝＝0为定值
不妨设kAB＝－，则
设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB
＝|AB|·d＝·|x2－x1|·
＝
＝＝≤1，
当m2＝1时满足(*)取等号，
∴S四边形ABCD＝4S△AOB≤4，即四边形ABCD的面积的最大值为4.12分
21．解：(Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(x>0)的图象与x轴切于点(3,0)，
所以即
解得
所以f(x)＝x3－6x2＋9x，
经检验，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(x>0)的图象与x轴切于点(3,0).4分
(Ⅱ)命题p：∃x1，x2∈[－1,1]，
|g(x1)－g(x2)|>1为假命题
等价于命题p：∀x1，x2∈[－1,1]，
|g(x1)－g(x2)|≤1为真命题，
因为g(x)＋f(x)＝－6x2＋(3c＋9)x，所以g(x)＝－x3＋3cx，
因为对任意x1，x2∈[－1,1]有|g(x1)－g(x2)|≤1成立，所以|g(1)－g(－1)|≤1，
即|6c－2|≤1，解得≤c≤.
又因为g′(x)＝－3x2＋3c，
所以g(x)在[－1，－]，[，1]内为减函数，
在[－，]内为增函数，
因为g(x)是奇函数，且|g(1)－g(－1)|≤1，
只需|g()－g(－)|≤1，
则4c≤1，所以c的取值范围是≤c≤.8分
(Ⅲ)因为h(x)＋f(x)＝x3－7x2＋9x＋cln x(c∈R，c<0)
所以h(x)＝cln x－x2，定义域为(0，＋∞)，
又h′(x)＝－2x<0，故h(x)在(0，＋∞)单调减，所以h(x)至多有一个零点．
因为c<0，所以(c－1)2>1，e<1，
所以＝(c－1)2－e >0，
又h(1)＝－1<0，所以函数h(x)恰有1个零点.12分
22．解：(Ⅰ)由消去t得，曲线C的普通方程是y2＝4x.4分
(Ⅱ)由消去x得，y2－4ky－4＝0，
设直线与曲线C的两个交点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，
因为直线l与曲线C相交所得的弦长是4，
所以4＝，
进一步，4＝|y1－y2|，
4＝·，解得k＝0.10分
23．解：(Ⅰ)h(x)＝|2x－1|＋m|x＋3|
＝|2x－1|＋|mx＋3m|＝|1－2x|＋|mx＋3m|
≥|(m－2)x＋(1＋3m)|，
因为h(x)的最小值是7，所以所以m＝2.5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，当且仅当(1－2x)(mx＋3m)≥0⇔(2x－1)(2x＋6)≤0，
即－3≤x≤时，h(x)≥|(m－2)x＋(1＋3m)|中的等号成立，
故当h(x)取得最小值时x的取值范围为.10分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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