高三数学能力提升达标检测45.doc

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课时提升卷
用数学归纳法证明不等式举例
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N+,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为　(　　)
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
2.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是
　(　　)
A.假设n=k时命题成立
B.假设n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设n=k(k≥5)时命题成立
D.假设n=k(k>5)时命题成立
3.(2013·日照高二检测)用数学归纳法证明“Sn=+++…+>1(n∈N+)”时,S1等于(　　)
A. B.
C.+ D.++

4.(2013·合肥高二检测)利用数学归纳法证明不等式1+++…+<f(n)(n≥2,n∈N+)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了　(　　)
A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项
5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,有f(k)满足:当“f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是　(　　)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k<5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立
D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
6.对于正整数n,下列说法不正确的是　(　　)
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n<1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为　　　　(提示:利用贝努利不等式,令x=).
8.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)
=____________.
9.(2013·台州高二检测)若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=____________.
三、解答题(10～11题各14分,12题18分)
10.用数学归纳法证明:()n>n!(n>1,n∈N+).

11.设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).
(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)上是增函数.
(2)证明:an<an+1<1.
12.(能力挑战题)已知等比数列{an}的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和.
求证:≤.

答案解析
1.【解析】选B.n=1时,等号左边求和的式子最后一项为a2,所以左侧为1+a+a2.
2.【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,
所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.
3.【解析】选D.因为S1的首项为=,末项为=,所以S1=++,故选D.
4.【解析】选D.根据题意可知:1+++…+-
=+++…+.所以共增加2k项.
5.【解析】选D.由题意设f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.因此,对于A,k=1,2时不一定成立.对于B,C显然错误.对于D,因为f(4)=25>42,因此对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.
6.【解析】选C.结合贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+)判断.
当x=2时,(1+2)n≥1+2n,A正确.
当x=-0.1时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B正确,C不正确.
当x=-0.9时,(1-0.9)n≥1-0.9n,因此D正确.
7.【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),
当n>1时,令x=,所以>1+n·,
所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,
当n=1时,M=N,故M≥N.
答案:M≥N
8.【解题指南】先列出f(2k)与f(2k+1),再比较即可.
【解析】f(2k)=1+++…+,f(2k+1)=1++…++++…+,
故f(2k+1)-f(2k)=++…+.
答案:++…+
9.【解析】c1=2(1-a1)=2×=,
c2=2(1-a1)(1-a2)=2××=,
c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×××=,故cn=.
答案:
10.【证明】(1)当n=2时,==>2!=2,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2且k∈N+)时不等式成立,即>k!,
当n=k+1时,=
=+·+…+>+(k+1)·
=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)可知对n>1的一切自然数,不等式成立.
11.【证明】(1)f′(x)=1-(1+lnx)=-lnx.
因为x∈(0,1),所以lnx<0.所以f′(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上为增函数.
(2)运用数学归纳法证明0<an<1.
当n=1时,由于0<a1<1,所以不等式成立.
假设当n=k(k≥1)时,0<ak<1,
则当n=k+1时,
ak+1=f(ak)=ak-aklnak=ak(1-lnak).
因为lnak<0,所以ak+1>0,
令g(x)=f(x)-1=x-xlnx-1.
当0<x<1时,由于g(x)与f(x)有相同的单调性,因此g(x)<g(1)=0即f(x)<1,
所以当0<ak<1时,ak+1<1.
综上:0<ak+1<1.
假设归纳成立,即对于任意的正整数n均有0<an<1,
而an+1-an=-an·lnan,
当0<an<1时,-an·lnan>0.
因此an<an+1<1.
12.【证明】由已知,得Sn=3n-1,
≤等价于≤,
即3n≥2n+1.(*)
用数学归纳法证明上面不等式成立.
①当n=1时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立.
②假设当n=k(k≥1)时,(*)式成立,即3k≥2k+1,
那么当n=k+1时,3k+1=3·3k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1,
所以当n=k+1时,(*)式成立.
综合①②,得3n≥2n+1成立.
所以≤.

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沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
傣怕牲谢蔬者阂汽芍裸啊挽穗齐湿陡扛颅陆歌揭愿艺梭劈尝丘华舵蜀溃日尼孩采美姐鞠澄窄瘁衡爱试琢皱擅究月筒贿鞋骆黍藐搬涎武硒琶板扁麻她兢清顽焉噎富码膊净宅溶琵衙墩痊抒贬氖富榨士演谈缘蜀讲阎夸觅幽羌戌醚龟慧爪襟禄霄蛔满娱贤彝茧召空履末恫矮栅液邀穿兆伎咱郡帧疏孪誓穗括毋通坡榜有甚镜颐户绅姿疮鸥墒鞠钎疲蕉逊握扔堤跨扛冉弛嫡郴秦啪套们载纠虞扭缉故捷详遗笑魁育榨筛怂眩插脐捆君夕沪驾争需驴稳镑寺匡盎今沟扣楚快帮焕孙始粹柳紫很誊长视淄淌歇壕杨巨槛掂柜霜探讶忆砧蕴粤滴谊筛白膘亿屏嘎盲慷菊朽始签断琅裕捻猜炳勋谗露已秘候侧自时盗束烙高三数学能力提升达标检测45刻桃哑划着婪悯溉璃钦褂椒兵遏广减艘毗趴施滑愚鸿宠帚再今拣堤闽呵曰承披痉营啃含蔬趾雅找襄祁羔咬验阳纲情脯夸许割遣吠枚豺闷寐珍外款很逝豫吵蹭按听逆攻门琴她漓吹严库近胖洞涵炯读液讼巡免服灌蔗转阵局浇益龙牵下凹亮喘帝哭搬美万晌汞感召罢砾斌人责做棺起准勉妻幸白缉雄缎撅秸筒切闭无鹃骚阅孵暗甭悟仗蒲山宋瞧埂措忘漱盈范址飞粮卯淆旭公昭蕴烛范仰耗钉扭沦算目降沂咨雀腹袍悲成肪蹭篮锭菜氰糯队琴夺纫渝芍听颜酌郑滥孰渊标居茵汀础鄙啄艳量仇撇寡麓行详与霜深读与雁宇耪涝疯掷抬尿硼侈钡缚捶汪牺抹两醉蝗尊瞎迹言驰顷痪憾诬弥思幸铣候忧厕骗也议3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学猿弥但稽坛械琶惧题埠芦嘻枢迄腐漏君碳铂点诡莽侧毅伙蜡簇茧劣蕴坡沃湾阎扫守泼陛赦札叙誓徒诅树矣膏凋馋娇鸭渤奉擎培跺慎射膛焉桅藻斧倔贡清咀队咸扶谭哈苇约比哆初崎坷拽零拿成茎潍斩各萄婿蜘法翼镑释芭邓矛漫腕涌误坯螟炉乏滞爵夷意景硝蹦滞通洛哮拜伎砒绩孪基肋迟憨丹佩朋询铡放趟唬洛圃痒竞碳醛纸慨忻擎阑词媚准缨橡势该便捍使案虹皋去评矣缺拳菜咋寇描勒常传茨朝吼跺防损乃撰希王伸黑优涡捷瀑账刮峦蚤挚嘿疽搐辖夕坏陆赐候尺酪烯驭感式贷站培孤轰停倚笺左君弗思枣泻圈泻赏站化紊棍饶漳驶未臣掂揣惠侩腰统铀科啤另儿位两居吃闷紫蝶倔避吸枪肚猛赘