2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题12.doc

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开卷速查　规范特训
课时作业　实效精炼
开卷速查(51)　圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．1或3
C．0 D．1或0
解析：由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.
答案：D
2．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　)
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，
则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.
答案：D
3．过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.
答案：C
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，∴y0>2.
答案：C
5．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：∵kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则－＝1.整理，得
(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，
∴5a2＝4b2.
又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，
∴双曲线E的方程为－＝1.
答案：B
6．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b.
由⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，
得AB的中点M.
又M在直线x＋y＝0上，可求出b＝1，
∴x2＋x－2＝0，则
|AB|＝· ＝3.
答案：C

7．如图，已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4的值是(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y2＝2px(p>0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝(－m)×4＝2，两边平方即可得m6＋m4＝2.
答案：C
8．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个

解析：当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，
直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.
答案：D
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
则k1＝，k2＝.
又∵M、N、P都在双曲线－＝1上，
∴
∴b2(x2－x)＝a2(y2－y)．
∴＝.
∴＝|k2|，即|k1|·|k2|＝.
又∵|k1|＋|k2|≥2＝.
∴＝1，即4b2＝a2.
∴4(c2－a2)＝a2，即4c2＝5a2.
∴＝，即e2＝，∴e＝.
答案：B
10．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．1 D．0
解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1)．
·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2.
答案：A
二、填空题
11．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝__________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.
答案：10
12. 已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝__________.
解析：将x＝－代入椭圆方程得yp＝，

由|PF1|＋|PF2|＝4
⇒|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
答案：
13．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是__________．
解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
由题意得
∴即k＝2.
答案：2
14．已知双曲线－＝1 (a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－＝1的距离之和s≥c，则e的取值范围是__________．
解析：由题意知
s＝＋＝≥c，
∴2c2≤5ab，∴≤.
又＝＝，∴2e2≤5，
∴4e4≤25(e2－1)，∴4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5，∴≤e≤.
答案：
三、解答题
15．[2013·安徽]设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解析：(1)因为焦距为1，
所以2a2－1＝，解得a2＝.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.
由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，
直线F2P的斜率kF2P＝，
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，
所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x－(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，
即点P在定直线x＋y＝1上．
答案：(1)＋＝1；(2)证明略．
16．[2013·江西]如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.

(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)由P在椭圆上得，＋＝1，①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·.⑤
④代入⑤得
k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常数λ＝2符合题意．
方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，
则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝.
联立得A，
则直线PA的斜率为：k1＝，直线PB的斜率为：k2＝，
所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
答案：(1)＋＝1；(2)存在，λ＝2.
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1．[2013·课标全国Ⅰ]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程．
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，
由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，
并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.
2．[2013·广东]已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解析：(1)由题设条件，可得：＝，
由c＞0得c＝1.
所以C的方程为：x2＝4y.
(2)设过点P(x0，y0)的两切线的切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则直线AB的方程可表示为：
y－y1＝(x－x1)．①
由于y′＝，
∴过A，B的切线的斜率分别为kA＝和kB＝.
因此直线PA的方程可表示为：y－y1＝(x－x1)，
结合x＝4y1得y＋y1＝x；
同理PB的方程可表示为：y＋y2＝x.
由于P(x0，y0)在这两条直线上，
所以
因此
将②③代入①得到直线AB的方程为：
y＝x0x－y0(或y＝x0x－x0＋2或y＝(y0＋2)x－y0)．
(3)由于y＝－1为抛物线C的准线，所以
|AF|·|BF|＝|y1－(－1)|·|y2－(－1)|
＝|y1y2＋y1＋y2＋1|.
由(2)可知(x1，y1)，(x2，y2)是方程组
的两解，
由⑤得(y＋y0)2＝x2，将④代入(y＋y0)2＝x2得到：y2＋(2y0－x)y＋y＝0.
易得：y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y.
∴|AF|·|BF|＝|y1y2＋y1＋y2＋1|
＝|x＋(y0－1)2|
＝|PF|2.
由于点F到直线l的距离为，
故|AF|·|BF|的最小值为.
3．[2013·湖南]已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．
解析：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．
设圆心的坐标为(x0，y0)，
由
解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝.
所以b＝2＝.
由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.
设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
于是a＝
＝
＝
＝
＝.
从而ab＝＝
＝
≤
＝2.
当且仅当＝，
即m＝±时等号成立．
故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，
即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.

4．[2013·重庆]如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
解析：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则
＋＝1.
从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2
＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，
又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，
所以S＝|2y1||x1－x0|
＝×2 |x0|
＝
＝ .
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为
(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
5．[2013·山东]椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
解析：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±，
由题意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：设P(x0，y0)(y0≠0)．
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1∶y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2∶y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝.
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1，
所以＝.
因为－＜m＜，－2＜x0＜2，
可得＝.
所以m＝x0.
因此－＜m＜.
方法二：设P(x0，y0)．
当0≤x0＜2时，
①当x0＝时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P.
若P，则直线PF1的方程为x－4y＋＝0.
由题意得＝－m，
因为－＜m＜，
所以m＝.
若P，同理可得m＝.
②当x0≠时，
设直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)．
由题意知＝，
所以＝.
因为＋y＝1，
并且k1＝，k2＝，
所以＝
＝
＝，
即||＝||.
因为－＜m＜，0≤x0＜2且x0≠，
所以＝.
整理得m＝，故0≤m＜且m≠.
综合①②可得0≤m＜.
当－2＜x0＜0时，同理可得－＜m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
(3)证明：设P(x0，y0)(y0≠0)，
则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝
＝·
＝－8，

因此＋为定值，这个定值为－8.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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