2015届高考数学第二轮知识点课时检测2.doc

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专题一　第三讲

一、选择题
1．(2014·江西文，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
[答案]　A
[解析]　∵f(－1)＝2－(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，∴a＝.
2．(文)(2013·江西八校联考)已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　由y＝2x为增函数知，2a>2b⇔a>b；由y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数知，log2a>log2b⇔a>b>0，∴a>b⇒/ a>b>0，但a>b>0⇒a>b，故选B.
(理)(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝()x
[答案]　B
[解析]　本题考查了基本初等函数概念及幂的运算性质．
只有B选项中3x＋y＝3x·3y成立且f(x)＝3x是增函数．
3．(2014·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝xα，则－＝(－2)α，∴α＝－3，
∴f(x)＝x－3，由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝.
4．(文)(2013·霍邱二中模拟)设a＝log954，b＝log953，c＝log545，则(　　)
A．a<c<b B．b<c<a
C．a<b<c D．b<a<c
[答案]　D
[解析]　∵y＝log9x为增函数，∴log954>log953，∴a>b，又c＝log545＝1＋log59>2，a＝log954＝1＋log96<2，∴c>a>b，故选D.
(理)(2013·新课标Ⅱ文，12)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题意得，a>x－()x　(x>0)，
令f(x)＝x－()x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1，故选D.
5．(2013·重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是(　　)

[答案]　D
[解析]　由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，故C正确．
∵y＝log2|x|＝是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．
6．(2013·南开中学月考)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(logx)>0的解集是(　　)
A．(0，) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(2，＋∞) D．(，1)∪(2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　解法1：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，
又f()＝0，∴f(－)＝0，
由f(x)>0得，x>或x<－，
∴0<x<或x>2，故选C.
解法2：∵f(x)为偶函数，∴f(x)>0化为f(|lx|)>0，
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f()＝0，∴|x|>，∴|log8x|>，∴log8x>或log8x<－，
∴x>2或0<x<.
二、填空题
7．(文)设函数f(x)＝若f(x)＝1，则x＝________.
[答案]　－2
[解析]　当x≤1时，由|x|－1＝1，得x＝±2，故可得x＝－2；当x>1时，由2－2x＝1，得x＝0，不适合题意．故x＝－2.
(理)(2013·大兴区模拟)已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是________．
[答案]　(－1,1]
[解析]　∵f(x)＝2－x－1＝()x－1在[－1,0]上为减函数，∴在[－1,0]上f(x)的最大值为f(－1)＝1，又f(x)＝在[0，m]上为增函数，∴在[0，m]上f(x)的最大值为，∵f(x)在区间[－1，m]上的最大值为1，
∴或－1<m≤0，∴－1<m≤1.
8．已知x＋x－1＝3，则x－x－＝________.
[答案]　±1
[解析]　(－)2＝()2－2·＋()2＝x＋x－1－2＝3－2＝1，∴－＝±1.
9．计算(lg－lg25)÷100－＝________.
[答案]　－20
[解析]　原式＝lg0.01÷100－
＝－2×10＝－20.
10．已知函数f(x)＝若f(m)>1，则m的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析]　当m>0时，由f(m)>1得，log3(m＋1)>1，
∴m＋1>3，∴m>2；
当m≤0时，由f(m)>1得，3－m>1.
∴－m>0，∴m<0.
综上知m<0或m>2.

一、选择题
11．(2013·天津和平区质检)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x3＋x－2的零点分别为x1、x2、x3，则(　　)
A．x3<x1<x2 B．x1<x3<x2
C．x2<x3<x1 D．x1<x2<x3
[答案]　D
[解析]　x1＝－2x1<0，若x>1，则g(x)＝x＋lnx>1，∴0<x2<1，x3＝1，∴x1<x2<x3.
12．(文)(2013·榆林一中模拟)命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．
则下列说法正确的是(　　)
A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是真命题
C．¬p为假命题 D．¬q为真命题
[答案]　A
[解析]　∵f(0)＝a0－2＝－1，∴p为假命题；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假，故选A.
(理)(2013·德阳市二诊)已知函数f(x)＝(其中a∈R)，函数g(x)＝f[f(x)]＋1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断，正确的是(　　)
A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有2个零点，当a＝0时，有无数个零点
B．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有3个零点，当a＝0时，有2个零点
C．当a>0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点
D．当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点
[答案]　A
[解析]　取a＝1，令x＋＝－1得x＝－，令log2x＝－1得，x＝.令x＋＝－得x＝－2，令log2x＝－得x＝2－，令log2x＝得x＝，令x＋＝得x＝0，由此可排除C、D；令a＝0，得f(x)＝由log2x＝－1得x＝，由f(x)＝知，对任意x≤0，有f(x)＝，故a＝0时，g(x)有无数个零点．
13．(文)(2013·天津市六校联考)设a＝30.5，b＝log32，c＝cos2，则(　　)
A．c<b<a B．c<a<b
C．a<b<c D．b<c<a
[答案]　A
[解析]　a＝30.5>1，b＝log32∈(0,1)，c＝cos2<0，
∴c<b<a，故选A.
(理)(2013·天津南开中学月考)设a＝()，b＝()，c＝log，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
[答案]　B
[解析]　∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，
∴()>().又y＝()x在R上为减函数，>，∴0<()<()，∴a>b>0，
又y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，
∴<1＝0，∴a>b>c.
14．(2014·衡水中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
[答案]　C
[解析]　由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
∴x1<x2时，f(x1)>f(x2)，x1>x2时，f(x1)<f(x2)，
∴f(x)为减函数，又f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)<f(0)，∴1－x>0，∴x<1，故选C.
15．(2014·中原名校第二次联考)函数y＝f(x＋)为定义在R上的偶函数，且当x≥时，f(x)＝()x＋sinx，则下列选项正确的是(　　)
A．f(3)<f(1)<f(2) B．f(2)<f(1)<f(3)
C．f(2)<f(3)<f(1) D．f(3)<f(2)<f(1)
[答案]　A
[解析]　由条件知f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f(1)＝f(π－1)，当≤x≤时，f′(x)＝－()x·ln2＋cosx<0，∴f(x)在[，]上单调递减，
∵<2<π－1<3<，∴f(2)>f(π－1)>f(3)，
∴f(2)>f(1)>f(3)，故选A.
16．(2013·新课标Ⅱ文，11)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c ，下列结论中错误的是(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0
[答案]　C
[解析]　本题考查函数的图象与性质及导数的应用．
由题意得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，该函数图象开口向上，若x0为极小值点，如图，f′(x)的图象应为：

故f(x)在区间(－∞，x0)不单调递减，C错，故选C.
二、填空题
17．(2013·吉林省吉大附中模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
[答案]　(0,1)
[解析]　函数f(x)的图象如图所示：

当0<m<1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点．
三、解答题
18．(文)已知函数f(x)＝＋alnx(a≠0，a∈R)．
(1)若a＝1，求实数f(x)的极值和单调区间；
(2)若a<0且在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为f ′(x)＝－＋＝，
当a＝1时，f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，
得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以x＝1时，f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)因为f ′(x)＝－＋＝，且a≠0，令f ′(x)＝0，得x＝，若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.
因为a<0，所以x＝<0，f ′(x)<0对x∈(0，＋∞)成立，
所以f(x)在区间(0，e]上单调递减，
故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋alne＝＋a，
由＋a<0，得a<－，即a∈(－∞，－)．
(理)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a、b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
[解析]　(1)设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(a·2x1＋b·3x1)－(a·2x2＋b·3x2)＝a·(2x1－2x2)＋b·(3x1－3x2)，
由x1<x2得，2x1－2x2<0,3x1－3x2<0，因为a·b>0，
当a>0，b>0时，f(x1)－f(x2)<0，f(x)为增函数；
当a<0，b<0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x)为减函数．
(2)由f(x＋1)>f(x)得，a·2x＋1＋b·3x＋1>a·2x＋b·3x，即a·2x>－2b·3x，
因为a·b<0，所以a、b异号．
当a>0，b<0时，－>()x，得x< (－)；
当a<0，b>0时，－<()x，得x> (－)．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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