浙江省金丽衢十二校2016年高三数学下册第二次模拟试卷.doc

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2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x+（l﹣m）y+3=0（m为实数）恒过定点（　　）
A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（﹣3，0） D．（﹣3，1）
2．平面向量=（1，x），=（﹣2，3），若∥，则实数x的值为（　　）
A．﹣6 B． C．﹣ D．0
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（　　）cm3．

A．4+ B．4+π C．6+ D．6+π
4．函数f（x）=sinx（sinx+cosx）的最大值为 （　　）
A．2 B．1+ C． D．1
5．已知a，b，c是正实数，则“b≤”是“a+c≥2b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到ADlC，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（　　）

A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（　　）
A．（3，6] B．（3，6） C．[3，7] D．（3，7]
8．设函数f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（　　）
A．|a|=4 B．a=﹣4且b2+16c＞0
C．a＜0且b2+4ac≤0 D．以上说法都不对

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．计算， =　　　　　　， =　　　　　　．
10．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为16，长轴长为18，则该椭圆的标准方程为　　　　　　．
11．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π．则φ=　　　　　　，f（x）的单调减区间为　　　　　　．
12．设a∈R，函数f（x）=为奇函数，则a=　　　　　　，f（x）+3=0的解为　　　　　　．
13．如图，双曲线C： =1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且∥，则该双曲线的离心率为　　　　　　．

14．若实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣y|的最小值是　　　　　　．
15．在△ABC中，BC=2，若对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3（t0∈R），则•的最小值为　　　　　　，此时t0=　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．
（I）求的值；
（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．
17．已知数列{an}满足：a1=c，2an+1=an+l（c≠1，n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn．
（I）令bn=an﹣l，证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意n∈N*，都有Sn≥3成立．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AAl=2，∠ABC=120°，点P在线段AC1上，且AP=2PCl，M为线段AC的中点．
（I）证明：BM∥平面B1CP；
（Ⅱ）求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值．

19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点T（t，0）（t＞0），且过点F的直线，交C于A，B．
（I）当t=2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为﹣4，求焦点F的坐标；
（Ⅱ）如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．

20．设函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=|x﹣a|，其中a为实数．
（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．

2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x+（l﹣m）y+3=0（m为实数）恒过定点（　　）
A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（﹣3，0） D．（﹣3，1）
【考点】恒过定点的直线．
【分析】令，可得直线恒过定点的坐标．
【解答】解：令，
解得：，
故直线恒过定点（﹣3，0），
故选：C．

2．平面向量=（1，x），=（﹣2，3），若∥，则实数x的值为（　　）
A．﹣6 B． C．﹣ D．0
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．
【解答】解：平面向量=（1，x），=（﹣2，3），且∥，
由两个向量共线的性质得 1×3﹣x（﹣2）=0，
解得x=﹣，
故选：C．

3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（　　）cm3．

A．4+ B．4+π C．6+ D．6+π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，
半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．
∴V=．
故选：D．

4．函数f（x）=sinx（sinx+cosx）的最大值为 （　　）
A．2 B．1+ C． D．1
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．
【解答】解：f（x）=sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=（1﹣cos2x）+sin2x=sin（2x﹣）+，
∴当sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值1+=，
故选：C．

5．已知a，b，c是正实数，则“b≤”是“a+c≥2b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】b≤⇒2b≤2≤a+c，反之不成立，取a=4，c=16，b=9．即可判断出结论．
【解答】解：b≤⇒2b≤2≤a+c，反之不成立，取a=4，c=16，b=9．
∴“b≤”是“a+c≥2b”的充分不必要条件，
故选：A．

6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到ADlC，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（　　）

A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段
【考点】轨迹方程．
【分析】过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．
【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，

取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM=，
当△ADC沿着AC翻折到ADlC时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E的中位线，则，
而翻折过程中，DE=D1E，∴OM=OM1，
∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是以O为圆心，以为半径的一段圆弧．
故选：C．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（　　）
A．（3，6] B．（3，6） C．[3，7] D．（3，7]
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】给出两个前n项和，写出求前n项和的公式，根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果．
【解答】解：∵数列{an}是单调递增数列，
若a5≤6，S3≥9，
∴a1+4d≤6 ①
3a1+3d≥9，即a1+d≥3 ②
∴（﹣1）×①+②，得
0＜d≤1，
∴a6=a5+d，
∴3＜a6=a5+d≤7
故选：D．

8．设函数f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（　　）
A．|a|=4 B．a=﹣4且b2+16c＞0
C．a＜0且b2+4ac≤0 D．以上说法都不对
【考点】集合的表示法．
【分析】设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．可得|x1﹣x2|==．由题意可得：，化简即可得出．
【解答】解：设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．
则，x1x2=．
∴|x1﹣x2|===．
由题意可得：，
由=，解得a=﹣4．
∴实数a，b，c满足a=﹣4，△=b2+16c＞0，
故选：B．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．计算， =　4　， =　9　．
【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】直接利用指数式与对数式的运算法则化简求解即可．
【解答】解： =4， =9．
故答案为：4；9．

10．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为16，长轴长为18，则该椭圆的标准方程为　+=1　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设焦点在x轴上的椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得2c=16，2a=18，可得a，c，b，进而得到椭圆方程．
【解答】解：设焦点在x轴上的椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得2c=16，2a=18，
即a=9，c=8，b==，
即有椭圆的方程为+=1．
故答案为： +=1．

11．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π．则φ=　　，f（x）的单调减区间为　[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）　．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据三角函数的定义求出cosφ，得出φ；得出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出．
【解答】解：OP=，∴cosφ=．
∵0＜φ＜π，∴φ=．
f（x）=Asin（2x+）=﹣Asin（2x﹣）．
令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤．
∴（x）的单调减区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）．
故答案为，[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）．

12．设a∈R，函数f（x）=为奇函数，则a=　﹣1　，f（x）+3=0的解为　﹣2　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，则20+a=1+a=0，得a=﹣1，
若x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），
则f（x）=1﹣2﹣x，x＜0，
即g（x）=1﹣2﹣x，x＜0，
由f（x）+3=0得f（x）=﹣3，
若x≥0，由f（x）=﹣3得2x﹣1=﹣3，得2x=﹣2，此时方程无解，
若x＜0，由f（﹣x）=﹣3得1﹣2﹣x=﹣3，
得2﹣x=4，即﹣x=2，得x=﹣2，
故答案为：﹣2

13．如图，双曲线C： =1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且∥，则该双曲线的离心率为　　．

【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：由题意∥，可得：
BF垂直于双曲线的渐近线y=x，
由F（c，0），B（0，b），kBF=﹣，
可得﹣•=﹣1，
即b2﹣ac=0，
即c2﹣a2﹣ac=0，
由e=，可得：
e2﹣e﹣1=0，
又e＞1，
可得e=．
故答案为：．

14．若实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣y|的最小值是　2　．
【考点】基本不等式．
【分析】化简可得或，从而作平面区域，再分类讨论，化|x﹣y|的最小值为点到直线的距离的最小值，从而结合导数求解即可．
【解答】解：∵x+y﹣xy≥2，
∴y（1﹣x）≥2﹣x，
∴或，
作平面区域如下，
，
设|x﹣y|=a，
①当x≤y时，y﹣x=a，
原点到直线y﹣x=a的距离，
故相切时有最小值；
y′==1，
故x=0或x=2（舍去）；
故a=|x﹣y|≥|0﹣2|=2，
①当x≥y时，y﹣x=﹣a，
原点到直线y﹣x=﹣a的距离，
故相切时有最小值；
y′==1，
故x=0（舍去）或x=2；
故a=|x﹣y|≥|2﹣0|=2，
综上所述，|x﹣y|的最小值是2；
故答案为：2．

15．在△ABC中，BC=2，若对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3（t0∈R），则•的最小值为　8　，此时t0=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得在线段BC上存在一点D，使得AD最小，且有AD⊥BC，取得最小值3，设BD=x，CD=2﹣x，运用勾股定理和向量数量积的定义和余弦定理，结合二次函数的最值的求法，即可得到最值．
【解答】解：对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3，
可得在线段BC上存在一点D，使得AD最小，
且有AD⊥BC，取得最小值3，
设BD=x，CD=2﹣x，
即有AB=，AC=，
由•=||•||•cosA
=（AB2+AC2﹣BC2）= [9+x2+9+（2﹣x）2﹣4]
= [2（x﹣1）2+16]，
当x=1时，取得最小值×16=8．
即有D为中点，可得t0=，
故答案为：8，．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．
（I）求的值；
（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）展开两角差的正弦，利用正弦定理和余弦定理化角为边得答案；
（2）由tanC=2求得，利用面积及面积公式求得ab的值，再由余弦定理得答案．
【解答】解：（1）∵c=2，
∴=
==；
（2）∵tanC=，且sin2C+cos2C=1，
∴，
∵，∴ab=，
由余弦定理有cosC=，
∴a2+b2=6．
∴，
∴a+b=．

17．已知数列{an}满足：a1=c，2an+1=an+l（c≠1，n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn．
（I）令bn=an﹣l，证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意n∈N*，都有Sn≥3成立．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（I）化简可得2（an+1﹣1）=an﹣1，从而可证明数列{bn}是以c﹣1为首项，为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（I）知bn=（c﹣1）•=an﹣1，从而解得an=1+（c﹣1）•，从而求其前n项和，从而化为函数的最值问题．
【解答】解：（I）证明：∵2an+1=an+l，
∴2an+1﹣2=an﹣1，
∴2（an+1﹣1）=an﹣1，
∴2bn+1=bn，
且b1=a1﹣l=c﹣1≠0，
故数列{bn}是以c﹣1为首项，为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（I）解得，bn=（c﹣1）•=an﹣1，
故an=1+（c﹣1）•，
故Sn==（+1）=（c﹣1）（2﹣）+n；
∵对任意n∈N*，都有Sn≥3成立．
∴（c﹣1）（2﹣）+n≥3对任意n∈N*都成立，
即对任意n∈N*，2（c﹣1）≥恒成立，
∵当n≥3时，≤0，
∴当n=1时，取到最大值4，
∴2（c﹣1）≥4，
故c≥3．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AAl=2，∠ABC=120°，点P在线段AC1上，且AP=2PCl，M为线段AC的中点．
（I）证明：BM∥平面B1CP；
（Ⅱ）求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）连结BC1交B1C于F，连结MC1交CP于N，连结FN，证明FN为△BC1M的中位线即可得出BM∥FN，于是结论得证；
（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，则可证明MG⊥平面B1CP，由于AB1∥MF，故而∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成角，利用勾股定理求出FG，MF得出线面角的余弦值．
【解答】证明：（I）连结BC1交B1C于F，连结MC1交CP于N，连结FN，
∵四边形BCC1B1是矩形，∴F为BC1的中点．
取AP的中点Q，连结MQ，
∵MQ是△APC的中位线，∴MQ∥PC，
又AP=2PCl，∴，∴ =，即N为C1M的中点．
∴FN为△C1BM的中位线，
∴FN∥BM，又FN⊂平面B1CP，BM⊄平面B1CP，
∴BM∥平面B1CP．
（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，
∵BM⊥AC，BM⊥CC1，∴BM⊥平面ACC1，
∵BM∥FN，∴FN⊥平面ACC1．∴FN⊥MG．
又MG⊥PC，FN∩PC=N，
∴MG⊥平面B1PC，
又AB1∥MF，
∴∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成角，
∵AB=BC=AA1=2，∠ABC=120°，∴AB1=2，CM==，
∴MF=，MG=，∴FG=．
∴cos∠MFG==．
∴直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值为．

19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点T（t，0）（t＞0），且过点F的直线，交C于A，B．
（I）当t=2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为﹣4，求焦点F的坐标；
（Ⅱ）如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（I）设过T的直线方程为x=my+t，代入y2=2px，利用韦达定理，结合两交点的纵坐标乘积为﹣4，t=2，求出p，即可求焦点F的坐标；
（Ⅱ）确定直线PQ的方程，令y=0可得x=﹣=，证明|OF||OM|=|OT|2，即可得出结论．
【解答】（I）解：设过T的直线方程为x=my+t，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2pt=0，
由韦达定理可得，两根之积为﹣2pt，
∵两交点的纵坐标乘积为﹣4，
∴﹣2pt=4，
∵t=2，
∴p=1，
∴焦点F的坐标为（，0））；
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）
同理可得，y1y2=﹣p2，y1y3=﹣2pt，y2y4=﹣2pt，
∴y3y4=﹣4t2，
直线PQ的斜率为=，
∴直线PQ的方程为y﹣y3=（x﹣x3）．
令y=0可得x=﹣=，
∴|OF||OM|=|OT|2，
∴|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．

20．设函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=|x﹣a|，其中a为实数．
（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．
【分析】（I）若f（x）+g（x）是偶函数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）利用参数分离法转化为求函数的最值问题，利用分类讨论的思想进行求解．
【解答】解：（I）设h（x）=f（x）+g（x）=x2﹣ax+|x﹣a|，
若h（x）是偶函数，
则h（﹣x）=h（x），
即x2+ax+|﹣x﹣a|=x2﹣ax+|x﹣a|，
即2ax=|x﹣a|﹣|x+a|，
令x=a，则a2=﹣|a|≥0，
则a=0，即实数a的值为0；
（Ⅱ）∵对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立
∴g（x）=0时，即x=a时，满足条件．
若x≠a时，t≥（）min，
==，
令u=x﹣a，
则h（u）=，
①当2＜a≤3时，h（u）min=min{3+，2﹣a}=2﹣a
②当1＜a≤2时，h（u）min=min{2﹣a，2+a}=2﹣a，
此时存在实数a∈（1，3]，有t≤2﹣a，则t≤1，
③当0≤a＜1时，h（u）min=min{2+a， }如图：
要使垂直实数0≤a＜1时，t≤min{2+a， }，
则需要t≤，即可，
综上实数t的最大值为．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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