高三数学课时限时训练题20.doc

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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数y＝ 的定义域为(　　)
A．[－，] B．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
C．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z D．R
解析：由题意得cosx≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：C
2．函数y＝sinx＋cosx的最小值和最小正周期分别是(　　)
A．－，2π　　　　　　　　　 B．－2,2π
C．－，π D．－2，π
解析：∵y＝sin，∴当x＋＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.T＝2π.
答案：A
3．若函数y＝sinx＋f(x)在[－，]上单调递增，则函数f(x)可以是(　　)
A．1 B．cosx
C．sinx D．－cosx
解析：因为y＝sinx－cosx＝sin(x－)，－≤x－≤，满足题意，所以函数f(x)可以是－cosx.
答案：D
4．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是(　　)
A. B.
C．π D.
解析：画出函数y＝sinx的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[，]．
答案：A
5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.kπ－，kπ＋，k∈Z
B.kπ＋，kπ＋，k∈Z
C.kπ－，kπ＋，k∈Z
D.kπ＋，kπ＋，k∈Z
解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．
∵f(x)图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，∴＝π，ω＝2.f(x)＝2sin(2x＋)．
故其单调增区间应满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)．kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：C
6．若函数y＝2cosωx在区间[0，]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　　)
A．2 B.
C．3 D.
解析：由y＝2cosωx在[0，π]上是递减的，且有最小值为1，则有f(π)＝1，即2×cos(ω×π)＝1⇒cosω＝.检验各数据，得出B项符合．
答案：B
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，则f()的值为________．
解析：f()＝f(－)＝f()＝sin＝.
答案：
8．设函数y＝sin(x＋)，若对任意x∈R，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是__________．
解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，可得f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，|x1－x2|的最小值为半个周期．
答案：2
9．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为________．
解析：∵T＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋.
∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin，
由图象及性质可知②④正确．
答案：②④
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知复数z1＝sin2x＋λi，z2＝m＋(m－cos2x)i(λ，m，x∈R)，且z1＝z2.
(1)若λ＝0且0<x<π，求x的值；
(2)设λ＝f(x)，求f(x)的最小正周期和单调增区间．
解：(1)∵z1＝z2，∴
∴λ＝sin2x－cos2x.
若λ＝0，则sin2x－cos2x＝0，得tan2x＝.
∵0<x<π，∴0<2x<2π.
∴2x＝，或2x＝.
∴x＝，.
(2)∵λ＝f(x)＝sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)
＝2(sin2xcos－cos2xsin)
＝2sin(2x－)，
∴函数的最小正周期为T＝π.
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
11．已知向量a＝(sinx,2sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ)为偶函数，求θ的值．
解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－
＝sin2x＋2·－＝sin2x－cos2x
＝2sin.
(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
(2)f(x＋θ)＝2sin，
根据三角函数图象性质可知
y＝f(x＋θ)在x＝0处取最值．
即sin＝±1，
∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.
又0<θ<，∴θ＝.
12．已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的零点．
(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x的值．
解：(1)由于是函数y＝f(x)的零点，
即x＝是方程f(x)＝0的解，
从而f()＝sin＋acos2＝0，
则1＋a＝0，解得a＝－2.
所以f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1，
则f(x)＝sin(2x－)－1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由x∈[0，]，得2x－∈[－，]，
则sin(2x－)∈[－，1]，
则－1≤sin(2x－)≤ ，
－2≤ sin(2x－)－1≤－1，
∴值域为[－2，－1]．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋π时，f(x)有最大值，
又x∈[0，]，故k＝0时，x＝π，
f(x)有最大值－1.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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