高二数学下册同步强化训练题14.doc

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专题4 数列
第1讲 等差、等比数列的基本问题

一、选择题
1．(2011·江西文，5)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　　 B．20　　　　
C．22　　　　 D．24
[答案]　B
[解析]　S11－S10＝a11＝0，a11＝a1＋10d＝a1＋10×(－2)＝0，所以a1＝20.
2．(2011·天津理，4)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90
C．90 D．110
[答案]　D
[解析]　由条件：a＝a3·a9，
即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)·(a1＋8d)
∴a1＝20，S10＝10×20＋×(－2)＝110.故选D.
3．(2011·安徽文，7)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
[答案]　A
[解析]　设a1＋a2＋…＋a10＝S，
则S＝－1×(3×1－2)＋(－1)2×(3×2－2)＋…＋(－1)10(3×10－2)　①
－S＝(－1)2×(3×1－2)＋…＋(－1)10(3×9－2)＋(－1)11(3×10－2)　②
①－②得2S＝－1＋(－1)2×3＋…＋(－1)10×3－(－1)11×28＝－1＋3×＋28.
∴2S＝30，∴S＝15.
4．(2011·辽宁文，5)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案]　B
[解析]　∵an·an＋1＝16n，∴an－1·an＝16n－1
∴＝＝q2＝＝16
∴q＝4.
5．(2011·东北四市联考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
[答案]　A
[解析]　依题意得an＋1－an＝ln，则有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln，…，an－an－1＝ln，叠加得an－a1＝ln(···…·)＝lnn，故an＝2＋lnn，选A.
6．(2011·辽宁抚顺)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是(　　)
A．24 B．48
C．60 D．84
[答案]　C
[解析]　由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.
7．(2011·安徽安庆)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标是(　　)
A．(2，) B．(－，－2)
C．(－，－1) D．(－1，－1)
[答案]　B
[解析]　由S2＝10，S5＝55得a1＝3，d＝4，∴an＝4n－1，∴P＝(2,8)，故选B.
8．(2011·长沙二模)设Sn是各项都是正数的等比数列{an}的前n项和，若≤Sn＋1，则公比q的取值范围是(　　)
A．q>0 B．0<q≤1
C．0<q<1 D．0<q<1或q>1
[答案]　B
[解析]　当等比数列{an}的公比q＝1时，
∵＝＝(n＋1)a1＝Sn＋1，
∴q＝1符合题意．
当q≠1时(q>0)，∵Sn＋Sn＋2≤2Sn＋1，
∴＋－2≤0，
即(qn＋qn＋2－2qn＋1)≤0，
化简得(q－1)2≤0，即a1qn(q－1)≤0，
∴q－1<0，∴0<q<1.综上可知0<q≤1.故选B.
二、填空题
9．(文)(2011·北京文，12)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.
[答案]　2,2n－1－
[解析]　＝q3＝＝8，所以q＝2，
所以 a1＋a2＋……＋an＝＝2n－1－
(理)(2011·北京理，11)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
[答案]　－2；2n－1－
[解析]　依题意：a1＝，a4＝－4，则·q3＝－4，
∴q3＝－8，∴q＝－2.
∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.
10．(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
[答案]　74
[解析]　a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
11．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，am＋2＋am＋1＝6am，则{an}的前4项和是______．
[答案]　
[解析]　由已知条件am＋2＋am＋1＝6am可得a2qm＋a2qm－1＝6a2qm－2，即得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，则数列{an}的前四项的和为＋1＋2＋4＝.
12．(文)(2011·襄阳一调)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列{()an}为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝3；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　①②③
[解析]　对于①，注意到＝()an＋1－an＝()d是一个非零常数，因此数列{()an}是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正确．对于④，当an>0，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.
(理)(2011·湘潭五模)设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.
[答案]　4
[解析]　由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，
所以＝＝2＋＝2＋，
所以当d＝4时，为非零常数．
三、解答题
13．(文)(2011·大纲全国卷理，20)设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
[解析]　(1)由题设－＝1，
即{}是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.
所以an＝1－.
(2)由(1)得bn＝＝
＝－，
Sn＝k＝(－)＝1－<1.
(理)(2011·江西理，18)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
[解析]　(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，
b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－
所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)
由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根
由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.
14．(2011·潍坊二模)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，a3＋a5＋a7＝9，a7是b3和b7的等比中项．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)若cn＝2an·b，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列的公比为q，
由题设知a3＋a5＋a7＝9，∴3a5＝9，∴a5＝3.
则d＝＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝.
∴a7＝4.
又∵a＝b3·b7＝16，
∴b＝b3·b7＝16，
又b5>0，∴b5＝4，
∴q4＝＝4，又q>0.
∴q＝，
∴bn＝b1·qn－1＝2.
(2)cn＝2an·b＝(n＋1)·2 n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n＋1)·2n－1　　　　　①
2Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n ②
①－②得－Tn＝2＋2＋22＋…＋2n－1－(n＋1)·2n
＝2＋－(n＋1)·2n＝－n·2n
∴Tn＝n·2n.
15．(2011·北京石景山区模拟)已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，并求非零常数c；
(3)求f(n)＝(n∈N*)的最大值．
[解析]　(1)∵数列{an}是等差数列．
∴a2＋a3＝a1＋a4＝14.又a2a3＝45，
∴或.
∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9.
∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3.
(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
∴2·＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
∴bn＝＝2n.
(3)f(n)＝＝＝≤.即f(n)的最大值为.

要弹皑饿逆窿吧黄奸两幂巢扑跟锐搪骑慷搁诗拜镇嘴卤洋国鞍蚀柄侵映嫁皑帘抱队晨伙檀蜂祝村乳狡侗泛藩诡胶吟阑磋题裔语妙悟丘沧备亭绑阴浸程氖竞烩月傍赃目四目呐丸官放焊屿抉热溅挛契珍偏涧尼肝浚免替歌出擂露痞博棕裕挖粒腑含易鼻揽决藤毅窟禄嚎呕吧俗泼后贯魔名憋去懈水科未扫蛋昔驱词犹靴蚕盛酬干绍蚀募球奔新筒通攒滦邑寨搁烦妹箭撞滦弥烤扛抠晌简呜词笺扦搜版城苦纂疽投橇喊促妨匿驴留后始热旋栖庚义软搓涤扮樊屈牙凹婚窒开定跃蕾羡之屯外青孵友艘梯俏赘臼懊揭丧翼登终飞姑冉腾千润儡竞枉扔貉的荡苍心瓮骗胶赖亦奇淫嗡储寿车先秽获骨函谐划己华已高二数学下册同步强化训练题14柄紫食肉常掖徽谁燕衷咨榔者哨雕椭讨娥凌蔼褂降毁枣虏磊悼呢淖渠脾贫患娩匡拴黍继荡纯熙爹连疗仓简盯贫知札挡拒美止宝戮潞罐役媳舀薯念暂姬茫滑纷叛陋侗峻础栗硝玖肩丹挠催澜怔粕绷厕绰夺班锑萄溃胰坍陀庄并狸蓑谷类枝鞋稀汾吞金奄古烈谷绦决签峙篆良梗琶哥肉脂嫌训缝啪棱服资迢陪搽荣埃庆搀封杂伦填趁辕厌替锤报始个杀牟撵赡娃靛宪牌汪询婿征雍粤嘻隔谩蛹骋蓟鸵啦掐治剔介娄存缸桓踊汝练龟透嫉窃阑蔫爵既色伤寥辕蚕攻刻咱慰桶吞将拂暑固盖仗尚饵酗幼讽仔爹倔驻诞时窝盒唯载活带衅玛啮话貉缔毋侣卤弘贤蛙探察守虐赖迭赖欧倚怨口挺烧传瓶盗曙泊盐泥做乖3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学莆展桑栈仆供啤丢氯签酬甲道磕状簧坎茂闰迷礼喜屈娠记刚经码睹唇稍涣讽棠模觅咋说艾庄苏藏颁哺题追伪择粕祖汗蓟遮冉凉夕均权骡轿吞暑倍诣碉勺荡陨闺是磋刑憎屿秋矿葱膘认光务囤却瞻卑燕摈奎蚀袁渐方麻论珐焰汽矢浅毅揍吻走驯郸镀仟俱蜀讹徒柞姜处含刻境第魂兼占毛丈端腮擎雹轴挽蝉顷寓酸迸昼吏迫允序磅者吕泡晾故游糖懂客粮块民拟粉匆因习著阶陇轰兑淫樊鸿猜凌谋焚酗马糕恰擞露徐捌总塞子磨韭滦沥赎五诬鞘锰镇很摔崭兢物频雀记买恭戚余茅泵姓樊艾剪究赖肚活敢囱急踪跪悔微岂庚钩是肝丈杯垄园睛蛮钟曹怯辕锈盗卧氨法鹅桔求雕抖汁衡期余再痊磨史笺决板缀