重庆市永川区2016届九年级数学上册期末考试题.doc

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2015-2016学年重庆市永川区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．

2．下列说法正确的是( )
A．在地球上，上抛的篮球一定会下落，是必然事件
B．买一张福利彩票一定中奖，是不可能事件
C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是
D．从一个装有5个黑球和1个红球的口袋中，摸出一个球是黑球是必然事件

3．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )
A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )

A．45° B．85° C．90° D．95°

6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )

A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，

7．如图，李老师早晨出门去锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→B→C→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )

A． B． C． D．

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为( )
A．40m/s B．20m/s C．10m/s D．5m/s

9．将一枚分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子掷出两次，出现的数字分别记为a，b，则正好能化成整数的概率是( )
A． B． C． D．

10．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为( )
A．20x2=25 B．20（1+x）=25
C．20（1+x）2=25 D．20（1+x）+20（1+x）2=25

11．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为( )

A．35° B．40° C．50° D．80°

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是( )

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．方程x2﹣2x+1=25的解为__________．

14．用直径为100cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则此圆锥的底面半径是__________．

15．如图是一直径为2m的桶水管道的横截面图，其水面宽为1.6m，则这条管道中此时水的最大深度为__________m．

16．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为__________．

17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为__________．

18．现将背面完全相同，正面分别标有数﹣2、1、2、3的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m、n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的概率为__________．

三、解答题（本大题2小题,每小题7分，共14分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．

20．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的正整数值，并求出方程的根．

四、解答题（本大题4个小题,每小题10分，共40分）
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

22．甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有数字3、4和5；两口袋中装有两个相同的小球，分别写有数字6和7，现从这三个口袋中各随机地取出1个小球，根据画树状图或列表的方法解答下列问题：
（1）求取出的3个小球恰好有两个偶数的概率；
（2）求取出的3个小球全是奇数的概率．

23．已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

24．某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲=0.3x；乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y乙=ax2+bx（其中a≠0，a，b为常数），且进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y乙为2.6万元．
（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式．
（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

五、解答题（本大题2个小题,每小题12分，共24分）
25．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是__________；
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

26．今年我区吉安镇柑桔喜获丰收，根据柑桔季节性及以往销售经验，销售时间不超过12周，每千克售价y（元）与销售时间x（周）之间的关系如下表：
销售时间x（周）
1
2
3
4
5
6
…
每千克售价y（元）
30
28
26
24
22
20
…
（1）请你从所学过的一次函数和二次函数中确定哪种函数关系能表达y与x的变化规律（不需说明理由），并写出y关于x的函数关系式．
（2）根据销售经验，第1周每千克售价30元时，当周可以销售1200千克水果；以后售价每降低2元，当周销售量可以增加400千克，通过计算估计最多第几周的销售金额就可以达到60800元．
（3）设第9周的销售量仍满足（2）中的关系，根据销售经验，从第9周后，每周的销售量均比前一周下降900千克，而售价与时间仍满足（1）中的关系，柑桔通过前9周的销售后，只剩5000千克．现准备将这批柑桔全部批发给某水果商，那么每千克的批发价至少为多少元时，才能获得不低于依销售经验按周销售的金额？
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45，≈2.65）

2015-2016学年重庆市永川区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

2．下列说法正确的是( )
A．在地球上，上抛的篮球一定会下落，是必然事件
B．买一张福利彩票一定中奖，是不可能事件
C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是
D．从一个装有5个黑球和1个红球的口袋中，摸出一个球是黑球是必然事件
【考点】随机事件；概率公式．
【分析】根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：A、在地球上，上抛的篮球一定会下落，是必然事件，故选项正确；
B、买一张福利彩票一定中奖，是随机事件，选项错误；
C、抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是，选项错误；
D、从一个装有5个黑球和1个红球的口袋中，摸出一个球是黑球是随机事件，选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了必然事件、随机事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )
A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】方程思想．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴（x﹣1）2=6．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )

A．45° B．85° C．90° D．95°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．

6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )

A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，
∴S阴影=DF×CF=×=．
故选C．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等．

7．如图，李老师早晨出门去锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→B→C→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )

A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】计算题．
【分析】设⊙M的半径为r，李老师跑步的速度为v，分类讨论：当李老师在M→A时，y=vx；当李老师在A→B时，y不变，即y=r；当李老师在C→M时，y=r﹣vx，所以y与x的函数图象为三条线段，第1段和第3段的时间相等，第2段所用时间用其它两段的时间要多，由此特征可对四个选项进行判断．
【解答】解：设⊙M的半径为r，李老师跑步的速度为v，
当0≤x≤时，y=xv；
当＜x≤时，y=r，
当＜x≤时，y=r﹣xv．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是设⊙M的半径为r，李老师跑步的速度为v，利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为( )
A．40m/s B．20m/s C．10m/s D．5m/s
【考点】二次函数的应用．
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可．另外实际问题中，负值舍去．
【解答】解：当刹车距离为5m时，
即y=5，代入二次函数解析式：
5=x2．
解得x=±10，（x=﹣10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s．
故选C．
【点评】考查自变量的值与函数值的一一对应关系，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，求刹车时的速度x．

9．将一枚分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子掷出两次，出现的数字分别记为a，b，则正好能化成整数的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果，找出正好能化成整数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

共有36种等可能的结果，其中正好能化成整数的结果数为14，
所以正好能化成整数的概率==．
故选C．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

10．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为( )
A．20x2=25 B．20（1+x）=25
C．20（1+x）2=25 D．20（1+x）+20（1+x）2=25
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元”，可得出方程．
【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25
故选C．
【点评】本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

11．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为( )

A．35° B．40° C．50° D．80°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】由A，B，O，D都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得到∠D+∠AOB=180°，可求得∠AOB=80°，再根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【解答】解：连OA，OB，如图，
∵A，B，O，D都在⊙O上，
∴∠D+∠AOB=180°，
而∠ADB=100°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选B．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补；也考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是( )

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．
【解答】解：A、∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故A选项错误；
B、∵对称轴：x=﹣=﹣，
∴a=b，
故B选项错误；
C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，
故C选项错误；
D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，
∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，
即4a+c＜2b，
故D选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．方程x2﹣2x+1=25的解为x1=6，x2=﹣4．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x﹣1）2=25，
开方得：x﹣1=5或x﹣1=﹣5，
解得：x1=6，x2=﹣4．
故答案为：x1=6，x2=﹣4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．用直径为100cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则此圆锥的底面半径是25cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】直径为100的半圆弧长是50π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是50π，设圆锥的底面半径是r，根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：由题意可得该半圆的弧长为50π，所以由该铁皮形成侧面的圆锥的底面圆的周长为50π，
设原的半径是r，则2πr=50π，
解得：r=25．
故答案是：25cm．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．
解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．
正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

15．如图是一直径为2m的桶水管道的横截面图，其水面宽为1.6m，则这条管道中此时水的最大深度为0.4m．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，由勾股定理求出OC，即可求解．
【解答】解：如图所示：
作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，
则OA=1m，AC=BC=AB=0.8m．
在直角△OAC中，OC===0.6（m）；
则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4（m）；
故答案为：0.4．

【点评】此题考查了垂径定理的运用、勾股定理；通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．

16．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为90°．

【考点】旋转的性质．
【专题】网格型．
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
【点评】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．

17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为3．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；两点间的距离．
【专题】计算题．
【分析】先把点（﹣1，0），（1，﹣2）代入y=x2+bx+c，求得b，c，再令y=0，点C的坐标，再得出答案即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，
令y=0，得x2﹣x﹣2=0，
解得x1=﹣1，x2=2，
∴C（2，0）
∴AC=2﹣（﹣1）=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点问题以及两点间距离的求法，是基础知识要熟练掌握．

18．现将背面完全相同，正面分别标有数﹣2、1、2、3的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m、n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的概率为．
【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】用树状图列举出所有的12种等可能的结果，再解出方程x2﹣5x+6=0的解为2或3，于是数字m、n都不是2或3的有（﹣2，1），（1，﹣2）两种结果，最后利用概率的概念计算出数字m、n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的概率．
【解答】解：共有12种等可能的结果，而方程x2﹣5x+6=0的解为2或3，
所以数字m、n都不是2或3的有（﹣2，1），（1，﹣2）两种结果，
所以数字m、n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的概率==．
故答案为：．

【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=．

三、解答题（本大题2小题,每小题7分，共14分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】利用配方法解方程的步骤，①移项，②二次项系数化1，③配方，方程两边加一次项系数一半的平方，④开平方，得出方程的根．
【解答】解：3（x2﹣2x）=﹣1．
3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣1，
3（x﹣1）2=﹣1+3，
x﹣1=±，
x1=1+，x2=1﹣；
【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方过程中应注意，二次项系数化一各项都要除以二次项系数，以及方程两边应同时加一次项系数一半的平方．

20．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根可得△=（﹣3）2﹣4k＞0，求出k的取值范围即可；
（2）根据k的取值范围，结合k为正整数，得到k的值，进而求出方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=9﹣4k＞0，
∴k＜；
（2）∵由（1）可知k＜，
∴选择k等于2代入原方程得：x2﹣3x+2=0，
解方程得：x1=2，x2=1．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

四、解答题（本大题4个小题,每小题10分，共40分）
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；
（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；
法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解法一：
过点O作OM⊥CD于点M，如图1，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB为△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2；

解法二：
过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O为EC的中点，
∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2．

【点评】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的外角性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

22．甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有数字3、4和5；两口袋中装有两个相同的小球，分别写有数字6和7，现从这三个口袋中各随机地取出1个小球，根据画树状图或列表的方法解答下列问题：
（1）求取出的3个小球恰好有两个偶数的概率；
（2）求取出的3个小球全是奇数的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出取出的3个小球上恰好有两个偶数的情况数，即可求出所求概率；
（2）找出取出的3个小球上全是奇数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：画树状图如下：

所有等可能的情况有12种，
（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的情况数有4种，即1，4，6；2，3，6；2，4，7；2，5，6，
则P（两个偶数）==；
（2）取出的3个小球上全是奇数的情况数有2种，即1，3，7；1，5，7，
则P（三个奇数）==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为﹣3，
∵P点和O点对称，
∴t=﹣6；

（2）分别将（﹣4，0）和（﹣3，﹣3）代入y=ax2+bx，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；

（3）将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx，
，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at2+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=﹣．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴﹣＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞﹣3．
故t的值可以是﹣1（答案不唯一）．
（注：写出t＞﹣3且t≠0或其中任意一个数均给分）
【点评】此题主要考查了抛物线的对称性及开口方向的问题，对于二次函数的图象和性质要很熟悉．

24．某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲=0.3x；乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y乙=ax2+bx（其中a≠0，a，b为常数），且进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y乙为2.6万元．
（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式．
（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多