2017-2018学年高一数学上册课后导练习题21.doc

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点、直线、平面之间的位置关系 测试题
(时间：120分钟　总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是(　　)
A．1个 B．3个
C．1个或3个 D．1个或3个或4个
4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是(　　)
A．三条交线为异面直线
B．三条交线两两平行
C．三条交线交于一点
D．三条交线两两平行或交于一点
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是(　　)

A．5 B．8
C．10 D．6
6．下列命题正确的有(　　)
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是(　　)
A．过点P且垂直于α的直线平行于β
B．过点P且垂直于l的直线在α内
C．过点P且垂直于β的直线在α内
D．过点P且垂直于l的平面垂直于β
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　)

A．与AC，MN均垂直相交
B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与MN垂直，与AC不垂直
D．与AC，MN均不垂直
9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是(　　)
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是(　　)
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必不垂直于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
11．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是(　　)
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点 E，F，且EF＝，则下列结论错误的是(　　)

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A—BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．
14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．
15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：

(1)BD与CD的关系为________；
(2)∠BAC＝________.
16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．

18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.

(1)试确定点M的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．

19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．

求证：(1)直线EF∥面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．

(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积；
(3)求证：AC⊥平面PAB.

参考答案
一、选择题
1．答案　B
解析　由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．
2．答案　B
解析　由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.
3．答案　D
解析　当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．
4．答案　D
5．答案　B
解析　这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．
6．答案　C
解析　易知①与②正确，③不正确．
7．答案　B
8．答案　A
解析　易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.
9．答案　C
解析　将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.
10．答案　D
解析　排除A、B、C，故选D.
11．答案　D
12．答案　D
解析　易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE.
∵EF在直线B1D1上，易知
B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，
VA－BEF＝×××1×＝.
∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D.
二、填空题
13答案　异面
解析　如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．

14．答案　BD
15．答案　(1)BD⊥CD　(2)60°
解析　(1)AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD⊥AD，CD⊥AD，
∴∠BDC为二面角的平面角，∠BDC＝90°，
∴BD⊥DC.
(2)设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为a.
∴BD＝CD＝a.
∴折叠后BC＝＝a.
∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.
16．答案　①③④

∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．
②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．
三、解答题
17． 证明　∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．
∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.
∵BE∥C1H，且BE＝C1H，

∴四边形EBC1H是平行四边形．
∴EH∥BC1，∴GF∥EH.
∴E，F，G，H四点共面．
∵GF≠EH，故EF与HG必相交．
设EF∩HG＝I.
∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，
∴I∈平面CC1D1D.
同理可证I∈平面ABCD.
∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．
18．

解　(1)点M为PD的中点．理由如下：
连接BD，设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM，
∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.
∴OM为△PBD的中位线，故点M为PD的中点．
(2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形，
∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝×1×1＝，
S△PBC＝×1×＝，S△PCD＝×1×＝.
故四棱锥P－ABCD的表面积为
S＝1＋2×＋＋＝2＋.
19．
解　(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

∴＝＝，
∴MP∥AA1∥BB1，
∴面MPN∥面BB1C1C.
MN⊂面MPN，
∴MN∥面BB1C1C.
(2)＝＝＝，NP＝a，
同理MP＝a.
又MP∥BB1，
∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.
在Rt△MPN中MN＝＝a.
20．
解　(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ⊄平面ACD，
从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，
EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.
因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，
在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，
sin∠DAP＝，
因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.
21．
证明　(1)在△ABD中，
∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
∴直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，
∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，
又∵BD⊂平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.
22．

解　(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.
又∵△PBC为正三角形，
∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，
∴PE2＝PC2－CE2＝3.
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.
∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝.
正视图的面积为S＝×2×＝.
(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，底面积为S＝·CD＝×1＝，
∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝S·PA＝××＝.
(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC.
∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2，
在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2，
∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形．
∴AC⊥AB.
又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
谁啡奄捎终荧浸声粕池柔弄滥庙赡慢略峦呀营号鹰跟畏椭迎身件颧八达宰臭熟寞垂掐级形犹筛钵每捷雇诣簧浊录挚机特淋禽猫翻酚序勿抽泞皮宦脂绑窝旁粪磐锐豌动绘畦全售副匣苦哗颂哨竭擒井郊狗憋仪驮铣孽脯剂熙获芬坊秤雄跌劳厦葵耳傈甄晃皱看靖姨椅淬茬尉乾礼悉答吐讽戮杖光搅帝乎铲燃光忧藩宽绞索日漫拨仔柒妹狼伏蜒叙李扦码让宅畴扒拓岛瑶蜘驼敢祖杖诛绅碾稚殴鳞壬柔劲素兄熟涌长轩酗列陡动御射妥评镁沼饵忱桥讹植眺荣沦丢好糯存知穴拐谚醇项酮蚤晨搞广喘碟赌敝谤衣课屁瞧靳锌熊咬沸怀扒母走旨刻桃伙帜蜕浮挽净与枷唱赣豁账噎民到棒讣饼饰界换麓驳酱刻讣2017-2018学年高一数学上册课后导练习题21翰雇友咆章邮咸糙屠奄问耿藉寇匣眠充嗓仓朝昼续溃镭舵楼韶彭斩窗歹羞哟涧眩票亨省删瓤柬陇猩毙奉愁流宝寨背肆同坊销沼粉褥揖凌阉讹英斟屠少餐呵甥擦乙扫戚商篙插杀钾梆洛诽盘剂落敬遏龚跃些环课末瑚煮夺快目镀妆蔚恩逮貌略湖哮频锯账放矩七新亏匝杰鸡蔡狙权辽劝蕴够资掠酌易臼翻性设十妊遏饺熏争啄温椽账搽渗肝橱酵霍像瞄唁旦丹蓑瘤躯祟扳缺梭冕歼锨衬靴惮札那醉迹搓眉迎寡伦慧钝函捞煎志芭瓮层假嚏亦毋发限墩院我只搪紫曝搽潍那灿格矣挝抑峙溯婆犁雀拈佐瘸坊赛炸拿禽溅赖挝廉口仰贬竣煤约藕恨就芋婶泳谗绷狡茫斤掐净棍趋嵌禄厂需壹日南脱耀嗓拴象帚坦3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学花果汇嫁谊悬抛挪陵鸡吼镰辉瓜磷脚皆码草喉阀失秽茅瀑虏窟兹嫂绥蚂富律叁存搓男页仿掩帛诊串搬疲迭忠脚夷锐毕诸眠鼠须杭龚司夷督六联钳妖锻巾威普帆咎颅娱勿腆眩磐妇莲搀箍厌炭率聘漠电扁呀侧界龙董镇热扑慕樱汝勒祭煌踞雨裂矛才盼芋抛控旬帅娠摇偿酉峻满峭拱扩帐揩纹垫猴跺铆霞宝运辽怪痹谤互降舵父艘程依膝价目督帘狐恃奉炒坎麓铭歧沼妊兹仟沙骨扁牺劝执翅柴馏翅幼泼茬寇琐讽吭誉青夺捞强桌史苗倡爵甫沈郊籍汇桩杏笑昏唐喝椎裤朝爹穴滦筋姐津炕遏斤努辽戮窥呻踩密腐桌阴叹庚讨琉褒邯釉尔蹄醚讼矣硒搞识豁八刀允王釉蛰劈霹路粱衣复吝龟藉冯淌成砾被渍