高三数学必修5活页规范复习训练13.doc

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习题课 正弦定理与余弦定理

双基达标　(限时20分钟)
1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝∶4∶，则△ABC是 (　　)．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解析　根据题意，由正弦定理可得，a∶b∶c＝∶4∶，设a＝t，b＝4t，c＝
t，t>0，由余弦定理可得cos C＝<0，所以三角形ABC是钝角三角形．故
选C.
答案　C
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则 (　　)．
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
解析　由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos 120°，即b2＋ab－a2＝0，∴b＝.由a＋b>a
知b<a.故选A.
答案　A
3．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为 (　　)．
A．150° B．30° C．120° D．60°
解析　由正弦定理可得b2－c2－a2＝ac，由余弦定理可得cos B＝＝－.
故角B为150°.
答案　A
4．在△ABC中，A＝120°，c＝5，a＝7，则b＝________.
解析　根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴72＝b2＋52－2·b·5cos 120°，∴b2＋5b－
24＝0，∴b＝3或b＝－8(舍去)．
答案　3
5．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶.则该三角形的最大内角为________．
解析　在△ABC中，根据正弦定理及已知得a∶b∶c＝2∶3∶.设a＝2x(x>0)，则b
＝3x，c＝x.
显然c>b>a，∴C是最大角．
∴cos C＝＝＝－，
∴C＝
答案　
6．在△ABC中，sin2A＋sin Asin B＝sin2C－sin2B，求C.
解　由正弦定理，设＝＝＝k(k≠0)，
则sin A＝ka，sin B＝kb，sin C＝kc.
由已知得(ka)2＋ka·kb＝(kc)2－(kb)2.
所以a2＋ab＝c2－b2.
得cos C＝＝－＝－.故C＝150°.
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)．
A．1 B．2 C.－1 D.

解析　如图所示，由正弦定理知＝，sin B＝＝
＝.∵a>b，∴B＝30°，C＝90°，c＝2.
答案　B
8．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为 (　　)．
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
解析　由余弦定理，得cos C＝＝＝，
∴C＝60°.
答案　A
9．已知△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，p＝sin B＋cos B，则p的取值范围为________．
解析　∵b2＝ac，∴cos B＝≥＝，
∴0<B≤，∴p＝sin ∈(1，]．
答案　(1，]
10．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦值等于，则三边长为________．
解析　显然a>b>c，∴A最大．∴sin A＝，cos A＝±，
∴＝±，即＝±，
＝±1，(只有取－1)，解之b＝5.∴三边长为3,5,7.
答案　3,5,7
11．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sin A＋sin B)2－sin2C＝3sin A·sin B，求证：A＋B＝120°.
证明　∵(sin A＋sin B)2－sin2C＝3sin A·sin B，
∴由正弦定理得(a＋b)2－c2＝3ab⇒a2＋b2－c2＝ab⇒
＝1.由cos C＝＝，∵0°<C<180°，
∴C＝60°，∴A＋B＝180°－C＝180°－60°＝120°.
12．(创新拓展)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数分别是多少？
解　∵sin A∶sin B＝∶1，
∴由正弦定理得a∶b＝∶1，∴a＝b.
根据余弦定理，cos A＝
＝＝.
∴A＝45°，∴sin A＝.∴sin B＝＝.
∵sin A>sin B，∴A>B，∴B＝30°，
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
即角A，B，C的度数分别为45°，30°，105°.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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