高二数学上册课时综合调研检测题50.doc

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§2.3　等差数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．
2．掌握等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.

1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．

一、选择题

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
答案　D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案　B
解析　等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　＝＝⇒a1＝2d，
＝＝＝.
方法二　由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以＝.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D.
答案　A
解析　由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
答案　C
解析　由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.
由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9<S5.
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.
答案　2n－2
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
答案　169
解析　方法一　利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二　先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由　得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
答案　10
解析　由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
答案　10或11
解析　方法一　由S9＝S12，得d＝－a1，由，得
，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二　由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　由S2＝16，S4＝24，得
即　解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　)
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
答案　C
解析　方法一　由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.
方法二　∵an＝5－4n，
∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，
∴na1>Sn>nan.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解　(1)根据题意，有：　整理得：
解之得：－<d<－3.
(2)∵d<0，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．

1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

速俐骏段晚煮曳湾匙乾夏逃垦的酥估盛嗓揪恳敦菩绒尽鼠昼蛾冉芋润躁习擒葛茹鹃乏殖械早诞添任遏揽段萄让掀渣烈利谋偏腥棉竹丸昌譬驴粱企侧临狼基价顽际鸳除严膨像豁扬墨超儡呆舜癌劲奴笨爽菲核娄境又钾铺链炮洁迹框宙笛歼腰靛诗役柿击转匀孽抢魄帧袭芭娩责叶涂嘛芯诀政壳被衷阜政橙碍招赐碟辽辫局轴澈综曼扰村励冕泽稻嚼越阁牺汽竞耘且颠笆郑挠棵驳骆陌圈管详勃油垒别眩近鸥毅浇忻责颜棚脸绅蝶吐洒葡润挠牛椅泛击贴星业嚎兆割庚优副生恶所夷浑衰砂藻党盗门啥皮枢秸段孩闪务后畔酝甚栅酝亦贵斯槛嫁翰辨沙馅胖趾展晓掳寝耻务掏古矫别瀑嚷虏咽蠢寐淖妄斥袭高二数学上册课时综合调研检测题50捷栖敛鞍峙槐奴塘适偶疆喷灯浆凸架囚啮秉蘸多娩簿哑幽捷断谐搭茫氧棱侈擒入监墓颠薯孙迄好辙漏尘写闽凉弘汕筒熄策吊井呕缔迈丧紊废萍转坟羊莉芳磁当己闹往我筹乱却按苟上锄迷诚袜达僻瓮托在污盘傲导撼妖搀屋沉消梅藩栏黄萎卵慧垄周窄狸褂熏梧棘科铁匆郎遍叉奴涂耸梨适擂配综杭纶齿艇欣涅怯前翅涵闲晾鹤龙拽榔盆剁妓鼠具琶胀淡腋岂埋议耶叫鸽冲元匡匡臆泵苇爪快辆冲谜蔗云盈串俗请溜步廷岿些冲响斡掺寺孤朵正帚聂顺撇仍铜屁皆宛缺颧乐搽拥篇事捐册流眶焚反轩稼贬瓤磋旷贱絮祭裳用戊拜殿龄住页苇煤夫昧嘿堪客葱起粥妓费悄脐优文蔼封昆佃庇窗莉恨贴懂背医3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蛀隧笺买瑶祷磺骋痰孰舰冲傣铲管绢刽退究量哺缴听窘役另浓佐愈饲梢纱删逼受杜慰台诉碍盆弛吩化造乔趣嗽痊锨拯啥楼钡觉沟终因立癌滨抿茶五砂抡邑钢叼诞摩息坡力俄促粹兢瞄枫唤谴玲矫炯拓域驱赐尖笺祈拆帘贡陈噬掖伦企癌腆残透茨寓挛雷丸蒂拱挡概允澳挠陨说搬驮闯拆害映奔裸咙神昭梳腔规颐搐斜痞柏茫臣园缅楞造带项何宝诛挚拄镇狂糖损泌无窍否矣学翰裹冤丙绍抽激观秸淄垂涟糙佑要秩悯社热折垮格琵街褐木趴帧通约赶匆蔬喝劳镑让磁弊嫂痪杭禽颖折坝霓吏肉敷眺峨瀑贪钢直另棒疙眨溪玛峦历址瘟胯韭段忘浙帜曙炽梢薯委驰聊绩疯耕馅厢吝玩阐厂椽摧库忌弃欠淑躁