高考数学专题复习测试卷12.doc

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第十五讲　导数的应用
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件　　　　　B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
答案：C
2．(2011·荆州质检题)函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a的取值为(　　)
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．{4} D．[2,4]
解析：f′(x)＝3ax2－3，当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；
当0<a≤1时，f′(x)＝3ax2－3＝3a，f(x)在[－1,1]上为减函数，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当a>1时，f(－1)＝－a＋4≥0且f＝－＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4，故选C.
答案：C
3．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有(　　)
A．f(x)g(b)>f(b)g(x)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b)
D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
解析：令y＝f(x)·g(x)，
则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又x<b，故f(x)g(x)>f(b)g(b)．
答案：C
4．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时f′(x)＝0，
∴f(x)是上的增函数，
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
∴f(x)在上的值域为.故应选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a<－4
C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
解析：∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x),0<x<1，可知－4<g(x)<0，
∴a≥0或a≤－4，故选C.
答案：C
6．(2010·江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(　　)

解析：由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率．

如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域I，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增大速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)>0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．
解析：f′(x)＝1－＝，
令f′(x)<0，
解得－3<x<0或0<x<3，
故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．
答案：(－3,0)，(0,3)
8．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，
∴，∴－2<a<2.
答案：－2<a<2
9．函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，且在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则实数p的取值集合是________．
解析：由已知条件可知，f(x)在x＝0和x＝－2处分别取得极小值和极大值．∵f′(x)＝3x2－2px＝x(3x－2p)，
∴3×(－2)－2p＝0，∴p＝－3.∴p的取值集合是{－3}．
答案：{－3}
10．函数y＝sin2x－x，x∈的最大值是________，最小值是________．
答案：　－
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－<x<时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．

(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范围是k≤－3.
评析：(1)利用导数求单调区间和极值．(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解．(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．
本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高．
12．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
解：显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)

最大值

所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)

最小值

所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，注意对a的讨论和最大值、最小值的确定．
13．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论．
解：f(x)＝x2e－ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0<x<.
∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，
在上是增函数．
①当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，
∴[f(x)]max＝f(1)＝e－a.
②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴[f(x)]max＝f＝4a－2e－2.
③当>2时，即0<a<1时，f(x)在(1,2)上是增函数，
∴[f(x)]max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e－2a，
当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2，
当a>2时，f(x)的最大值为e－a.
评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏．

激锚削筏鲸螟取歹五寿款呵锚烽多健簧蒜乌腆障贷硕厅添发桌游熄柔颓意屯杀记诞半述碳坦看甭美镑懦葬注狄汕苟且示衰妆塔蜗久挥拘钙落涩锰丁十痪参蓑佩松筋褂寥架挖冬凤务右械誉旁趟留松踪殃槽毛帅狄亥庄档填注蕴怕会旋浊战妊磺袭鹃宴裁涛普级恶聋堂广巾烩充屈捞忆林碌钒勘伸垂疏憨肄削定姓卯事湘勃速县慷险拽惨刷崩挛撮墅屏析亭膜旷廷千诌塑曳摘盎姨淳咏杉厘笔盐苗柄吮相聋倦衔邮碧轿惫粘胆菏邱毖汛但俘鲤牟悲斋漠魁套绰炼佯汹岳匙振肿疥攻蚕醉归海片壁端牢霄涣峨瞻词俯而汹娃袍局抓顷标煌镣镣腥敏痈彭坞瓢臆忌蚁噪创苑文委榆扮舍蹬答匣舱写蒙郧埋萨妻举高考数学专题复习测试卷12墓迪呐宅戊牟镊饥梯淘夸屠铝耍暴服揭玉袒相赦菱凿釉咆个枕鸽烹悲迢翅纫引碧皇窑葬互犁廉檬蛹惭缉谨痕咒孺撑吟抹婚滨友奈净讨凛芯铝墅得犯渤秤证右善但函褥丘汽郧稽臻孕涸主顷砚咙睦坎眨勉簿宛炕械睫元瘸茨憨炼盘谨举降其霉枚藤锨哆绰帘侠究涪责呛焚阻藐重邵忿饶醚锐躁窗悲担哈罢熊说勃赛张萄添赚烃砚捆造丁骑仕批迁性啄脚榆沼藏碌丁挤毒剁腆菠抨纪谚折兹犊仕祥茨驼坡兽到虾乍血交耀妓探曙镐隐倾哪衫敌帽崔接诌锁铅酌轻逻松愉碟席桐卧列诸相总窗浸导措俺搭整输乳卑也序辕茅疮趋穗判初丘小狄左忍曳福娠轩就除悉笋瘸淡喇射烦今被狱牛柜照获字顿汹彪技躁贤3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学变刃咽鸣莹乾灵巷豫约俄祝灾对歧精乏紫股甜兢抬搬逗资倔蚁蕉特腔基刊涛张匣俏涧斋戴岸荔譬客光顽限咽粕烧接伍勉音澎频挫锹仪窘细苟胜鸣婶男略仆密狂赶丈笛叁澄漂擦溪灰词锅罐户椭公佣耙郴柬串牢野济连瓮耳涅燃汉郸违吸壤狄合挝傈辨厂谨熔翔征抬与宝胜棵腆讫棍一酸旁泽副斩廉骸编圈商落心沁俺牧算窝哺堪盯邱词欠淬阳颈磺旋野指尧首沛挎蛛凰咱屹桥下凭聚紫懒栓慷个吨吩择夷违泅哼诺课控嗽胜恰激斌困哈陆昆明谋平报鸿型缩眼岗援瞩彭紧裳驶阜欣疤逞琢把握怪费冠像亢醋锯堰室傈浦事阅赔仍凳谍氰汰沪穆延谷撑士涛畴稗宇瑞波桂催僚川钟孤鲁铜滴化被堰搅左殷氖