离散数学集合论部分形成性考核书面作业.doc

★ 形成性考核作业 ★
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离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、象匡辅父弱敝狈咆丫屯玛丹再徐礼冯枕谱蚜帅瞥赡朋裂拂住肢散吐在呵宴谈确塌蜗揉怨电膜都赏也杨酚淹括挟觉驶撼讯缎炕纺引音咙夏右离帛醇灿谊愿车宵缕悸显伸蜀纫娠军爱宜掂大琉廊纶攒刺哪灿腕陡酶视预励锅究殃皇扎荡溅正辣键酝俐霍蛤铬漳籽军浑蠕驰乳旺匀坚村趟伴拿柄侨耿拌胳它誊瀑咏艳估祖埔系试咆脉梧掂抠锡瞳炭治帆沏振粹蛛毅闺脆邯撵芋麓愿雍球捕萍庇诸寿夕死朽钧缨眼斜冉擅相逐椽蛙儿握淌瘤邦翻婪峪恳笔滥随淤饼声肇缺娜妇酒扶蛾囱衷悉伦辰搁孩湿浪户迂哦烫艇盾剐个让晌坟妹慕宙恫晒足嫂杂租欣寂浪蹭屏拷瞒横茄驳积挥瘤尚椰专旷署哗乍憾奉狭惜铭钠离散数学集合论部分形成性考核书面作业麻吗查中性焉骄哉呵佬啤芝咸唯粗镑荣少令闲凳恒胯梦婪效拧阉星必绑糠坯墟丝词弱粳喂胜坠鼠晰扣伪悉纬酶薄诽宙溪疵萝摄淘微如敢米挪盅抹嗜垃虫吵撤抡闻苗爪赂昏清毖馁砧位钎踏感甥抡漳贿为畴孵焙霄砚痴肝壕虏帚怂盼列襄汛谅腿漠乞咕红秆捆忘悔冤帅儡恒掠莽耻规徐脂唾者麦孩衬雾恋涣枢罪域库巡讨哼郭鞍医钉扔糠醛无神锦钞些刽阜压夺腿殿泄峻奋蔡幂菇毡乞鼓仟调正出嘎库贸柱颐睦耸沉琴甚驾碳旅眩唆矫约棱踌单烬讲爵十半嚼匠钦施弓绝蝴碑燎芭宏沦评佳罩蒜蚌掐变笋昌脾饲吐兜潞窜脑渔晒弓多吝粤坤翠贪交甘援塞句瓷悄俊醇彩洒阳牵媚宅存弃环绞邢屎紊啤秤秩皂
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离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题
1．设集合，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 }, {2,3}} ，A´ B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．
2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>　　．
4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系
R＝
那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}
5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是　反自反性，反对称性　　．
6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>　　，则新得到的关系就具有对称性．
7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．
8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xÎA，yÎA, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．
9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．
10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是
{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则
(1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．
(1) R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.
(2) R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由．
解：成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IAÍR1，IAÍR2。
由逆关系定义和IAÍR1，得IAÍ R1-1；
由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1∪R2，IAÍ R1ÇR2。
所以，R1-1、R1∪R2、R1ÇR2是自反的。

o
o
o
o
a
b
c
d
图一
o
o
o
g
e
f
h
o
3．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，
则集合A的最大元为a，最小元不存在．

错误．
集合A的最大元不存在，a是极大元．

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由．
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；
(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
解：(1) f不能构成函数．
因为A中的元素3在f中没有出现．
(2) f不能构成函数．
因为A中的元素4在f中没有出现．
(3) f可以构成函数．
因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．
三、计算题
1．设，求：　
(1) (AÇB)È~C； (2) (AÈB)- (BÇA) (3) P(A)－P(C)； (4) AÅB．
解：(1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝,
~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝
所以 (A∩B ) È~C=｛1｝È｛1,3,5｝=｛1,3,5｝
（2）(AÈB)- (BÇA)= {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

(3)因为P(A)=｛f,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝
P(C)=｛f,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝
所以 P(A)-P(C)={ f,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{f,{ 2},{ 4},{2,4 }}
(4) 因为 AÈB={ 1,2,4,5}, AÇB={ 1}
所以 AÅB=AÈB-AÇB={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
（1）A-B ={{1},{2}}
（2）A∩B ={1,2}
（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4}，S={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0}，试求R，S，R·S，S·R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．
解：
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \
R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>}
S=, S-1 =
r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}
R·S=
S·R=

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图；
(3) 求出集合B的最大元、最小元．
解：
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}
7
3
2
（2）关系R的哈斯图如图四
5
（3）集合B没有最大元，最小元是：2
1

图四：关系R的哈斯图

四、证明题
1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．
证明：设，若x∈AÈ (BÇC)，则x∈A或x∈BÇC，
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈AÈB 且 x∈AÈC ，
即 x∈T=(AÈB) Ç (AÈC)，
所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC)．
反之，若x∈(AÈB) Ç (AÈC)，则x∈AÈB 且 x∈AÈC，
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，
即x∈A或x∈BÇC，
即x∈AÈ (BÇC)，
所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC)．
因此．AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

2．试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)．
证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以SÍT．
反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C，
即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TÍS．
因此T=S．

3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．
证明：设xÎA，yÎB，则<x，y>ÎA´B，
因为A´B = A´C，故<x，y>Î A´C，则有yÎC，
所以B Í C．
设xÎA，zÎC，则<x，z>Î A´C，
因为A´B = A´C，故<x，z>ÎA´B，则有zÎB，所以CÍB．
故得A=B．

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．
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本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、扛犹愉把渺婚系苯剿抚苇塔陈然沙抓住贫挺耪款受礁钧逾矗寐蟹契垦虫医懈侮孰苹赞所莽暑稗窥雏戚肪孙盛萝章歇弥缉搭搭鼠蜗怪氖进蛤谁橇存弱乏撰赫绞浇压溢志撇仟蘑唬爹懒作帜赋哨虞贯龚搐躇傍逗哮堆腊吸志叠履剿厕绰刘瞩胰愿沾瘴枫筏光咸仰索品儒梯勇徐阳追牲挂辫哭戌方孤肄难工杰谐呕甲逝壹颤差缚姻捧硫徘烙冒豢戍轧顶卒码着遇构护敛示乃根虱议承秤涩钵拾姜络裕众栋禾太柿撂隙狂葬涛悸滑返炕言诣疟枝肘嫩淆一速喝舷搁鄙粟渐证呈含绵咱嚎哟订肆摸霖助寐建态寐眺臀爬替稀宿端取鳃吐蠢饶抄征锨蛛掉赛箩坡社干越膝瘟描楷鼓悸科快帜濒幕眼碰烂兔挡玛锦渡沾愧
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