高三数学上册第二次诊断试卷2.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）计算：cos210°=（）
A． B． C． D．

2．（5分）设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（CIB）=（）
A． {1} B． {1，2} C． {2} D． {0，1，2}

3．（5分）若，则点Q（cosθ，sinθ）位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

4．（5分）已知p：|x﹣2|＜3是q：0＜x＜a成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（）
A． （0，5] B． （﹣1，0） C． （5，+∞） D． （﹣1，5）

5．（5分）下列说法正确的是（）
A． 命题“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2则a＞c”的逆命题为真命题
B． f（x）=，g（x）=，则f（x）和g（x）为同一函数
C． 设p：“所有正数的对数均为正数”，q：“sin3＞cos3”，则（￢p）∧q为真
D． 命题“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+3＜0”．[来源:学。科。网]

6．（5分）已知向量，则实数x的值为（）
A． 2 B． ﹣2 C． D．

7．（5分）设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}的公差为（）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣3 D． 3

8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（）
A． （﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（0，2） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，0）∪（0，2）

9．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）
A． B． C． D．

10．（5分）y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+10，导函数为f′（x），则f（1）+f′（1）的值为（）
A． ﹣2 B． 2 C． 6 D． 8

11．（5分）已知等比数列{an}前n项和为Sn且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20等于（）
A． 12 B． 16 C． 32 D． 54

12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，则的值为（）
A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共4×5分=20分）
13．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x2）的定义域为．

14．（5分）已知，则为°．

15．（5分）等差数列{an}中，a4+a7+2a10+a13+a16=30，则其前19项和S19=．

16．（5分）关于函数（x∈R）有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移个单位得到；
③y=f（x）的图象关于直线对称；
④y=f（x）在区间上是减函数．
其中是假命题的序号有．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的值组成的集合．

18．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．
（Ⅰ）若x=，求向量，的夹角；
（Ⅱ）求函数f（x）=2•+1的最值以及相应的x值的集合．

19．（12分）已知等比数列{an}中，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项的和Sn．

20．（12分）已知函数f （x）=4sin2（+x）﹣2cos2x﹣1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及最小值；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）问f （x）的图象经过怎样的变换才能得到y=﹣4sinx的图象？

21．（12分）已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）﹣λf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

22．（12分）设函数f（x）=+x，
（1）若当x=﹣1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（3）若a为任意实数，试求出f′（sinx）的最小值g（a）的表达式．

新疆昌吉州奇台一中2015届高三上学期第二次诊断数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）计算：cos210°=（）
A． B． C． D．

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析： 把所求式子中的角210°变为180°+30°，利用诱导公式cos（180+α）=﹣cosα及特殊角的三角函数值化简，即可求出原式的值．
解答： 解：cos210°=cos（180°+30°）
=﹣cos30°=﹣．
故选B
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，其中灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．（5分）设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（CIB）=（）
A． {1} B． {1，2} C． {2} D． {0，1，2}

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 把集合A用列举法表示，然后求出CIB，最后进行并集运算．
解答： 解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={﹣2，﹣1，2}，所以，CIB={0，1}，
又因为A={1，2}，所以A∪（CIB）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．
故选D．
点评： 本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题．

3．（5分）若，则点Q（cosθ，sinθ）位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 三角函数值的符号．
专题： 阅读型．
分析： 根据角θ的范围，判断点Q的横坐标及纵坐标的符号，从而确定点Q所在的象限．
解答： 解：∵，则 cosθ＞0，sinθ＜0，
故点Q（cosθ，sinθ）位于第四象限，
故选D．
点评： 本题考查三角函数在各个象限里的符号以及各个象限内点的坐标的特点．

4．（5分）已知p：|x﹣2|＜3是q：0＜x＜a成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（）
A． （0，5] B． （﹣1，0） C． （5，+∞） D． （﹣1，5）
[来源:Zxxk.Com]
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 计算题．
分析： 根据绝对值的性质求出命题p的范围，再根据p是q的必要非充分条件，可知p推不出q，q⇒p，从而求出a的范围；
解答： 解：∵p：|x﹣2|＜3是q：0＜x＜a，∴a＞0
∴p：﹣1＜x＜5，
∵p是q的必要非充分条件，
∴p推不出q，q⇒p，
∴a≤5，因为a＞0，
∴0＜a≤5
故选A；
点评： 此题主要考查绝对值的解法以及充分必要条件的定义，是一道基础题；

5．（5分）下列说法正确的是（）
A． 命题“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2则a＞c”的逆命题为真命题
B． f（x）=，g（x）=，则f（x）和g（x）为同一函数
C． 设p：“所有正数的对数均为正数”，q：“sin3＞cos3”，则（￢p）∧q为真
D． 命题“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+3＜0”．

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： A，写出命题“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2则a＞c”的逆命题，判断其真假即可；
B，分别求得f（x）=与g（x）=的定义域，再判断其真假即可；
C，可举例说明p：“所有正数的对数均为正数”为假命题，易判断q：“sin3＞cos3”为真，从而可判断（￢p）∧q为真；
D，写出命题“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”的否定，再判断其真假即可．
解答： 解：对于A，“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞c”的逆命题“设a，b，c∈R，若a＞c，则ac2＞bc2”错误，当c=0时不成立，故A为假命题；
对于B，f（x）=，其定义域为{x|x≥1}；g（x）=，其定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}；则f（x）和g（x）不为同一函数，故B错误；
对于C，设p：“所有正数的对数均为正数”，1的对数为0，故p为假命题，￢p为真命题；
q：因为0＜3＜π，所以sin3＞cos3，即q为真命题；
所以（￢p）∧q为真，即C正确；
对于D，命题“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+3≤0”，故D错误．
故选：C．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查四种命题的关系及真假判断，考查命题及其否定、复合命题的真假判断，属于中档题．

6．（5分）已知向量，则实数x的值为（）
A． 2 B． ﹣2 C． D．

考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据向量垂直于向量数量积的关系，建立方程即可求解．
解答： 解：∵向量，
∴，
解得x=﹣2．
故选：B．
点评： 本题主要考查向量垂直的坐标公式的计算，比较基础，要求熟练掌握向量垂直的坐标公式．

7．（5分）设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}的公差为（）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣3 D． 3

考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： 根据等差数列的定义有a7=a2+5d，代入a2和a7的值后可解d．
解答： 解：因为{an}是等差数列，设其公差为d，
由a2=3，a7=13，得：a7=a2+5d，即13=3+5d，所以d=2．
故选B．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的定义，是会考常见题型，属基础题．

8．（5分）如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为（）
A． （﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（0，2） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，0）∪（0，2）

考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由函数f（x）为奇函数，可得不等式即 ，即 x和f（x）异号，故有 ，或 ；再结合函数f（x）的单调性示意图可得x的范围．
解答： 解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即 ，即 x和f（x）异号，
故有 ，或 ．
再由f（2）=0，可得f（﹣2）=0，
由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
结合函数f（x）的单调性示意图可得，﹣2＜x＜0，或 0＜x＜2，
故选 D．

点评： 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

9．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）
A． B． C． D．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵． [来源:Z,xx,k.Com]
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．
解答： 解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）
将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数
∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）
∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ
∴n=﹣+kπ
n大于0的最小值等于
故选C．
点评： 本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．

10．（5分）y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+10，导函数为f′（x），则f（1）+f′（1）的值为（）
A． ﹣2 B． 2 C． 6 D． 8

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 可得点P（1，f（1））在切线y=﹣2x+10上，故可求出f（1）；由导数的几何意义可得图象在点P处的切线的斜率k=f′（1），由此求出f′（1），故问题得解．
解答： 解：∵点P（1，f（1））在切线y=﹣2x+10上，
∴f（1）=﹣2+10=8，
即f（1）=8；
又∵f′（1）=k=﹣2，
∴f（1）+f′（1）=6，
故选C．
点评： 解决切线问题时，要充分利用导数的几何意义解决，考查运算能力．

11．（5分）已知等比数列{an}前n项和为Sn且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20等于（）[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A． 12 B． 16 C． 32 D． 54

考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据题目所给的条件可知，第六项到第十项的和是4，再与前五项的值相比，得到公比的五次方，要求的结果可以有前五项乘以公比的15次方得到．
解答： 解：∵S5=2，S10=6，
∴a6+a7+a8+a9+a10=6﹣2=4，
∵a1+a2+a3+a4+a5=2，
∴q5=2，
∴a16+a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4+a5）q15
=2×23=16，
故选B．
点评： 等比数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等比数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力．

12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，则的值为（）
A． B． C． D．

考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，代入已知等式中变形，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，确定出A的度数，再利用正弦定理表示出sinB，代入所求式子中变形，将b2=ac及sinA的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
将b2=ac代入a2﹣c2=ac﹣bc，
即a2﹣c2=b2﹣bc，
即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
即A=60°，
由正弦定理=得：sinB=，
则==sinA=．
故选A
点评： 此题考查了余弦定理，正弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．

二、填空题（每小题5分，共4×5分=20分）
13．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x2）的定义域为（﹣1，1）．

考点： 对数函数的定义域．
分析： 对数函数的真数大于0，解不等式可得定义域．
解答： 解：要使函数有意义，必须1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1
故答案为：（﹣1，1）．
点评： 本题考查对数函数的定义域，是基础题．

14．（5分）已知，则为60°．

考点： 数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算律．
专题： 计算题．
分析： 先求出的值，然后结合公式cos=，易得到向量夹角的余弦值，进而求出向量的夹角．
解答： 解：∵，
∴（﹣）2=+﹣2=4+9﹣2=7
即=3
∴cos===
∴=60°
故答案为：60
点评： 本题主要考查了用平面向量的数量积表示向量的夹角，以及利用公式cos=确定两个向量的夹角是解题的关键，属于基础题．

15．（5分）等差数列{an}中，a4+a7+2a10+a13+a16=30，则其前19项和S19=95．

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据题意和等差数列的性质求出a10=5，再由前n项和公式、性质求出S19的值．
解答： 解：因为等差数列{an}中，a4+a7+2a10+a13+a16=30，
所以6a10=30，解得a10=5，
则S19==19a10=95，
故答案为：95．
点评： 本题考查了等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．

16．（5分）关于函数（x∈R）有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移个单位得到；
③y=f（x）的图象关于直线对称；
④y=f（x）在区间上是减函数．
其中是假命题的序号有①②③．

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 先把f（x）化为f（x）=．
①根据f（x1）=f（x2）=0可得，对k讨论即可；
②把f（x）向右平移个单位可得，再化简比较即可；
③若y=f（x）的图象关于直线对称，则必有，否则关于直线不对称；
④利用y=sinx在区间单调递减进行判断即可．
解答： 解：∵f（x）===．
①由f（x1）=f（x2）=0可得=0，
∴，．
∴2x1﹣2x2=（k1﹣k2）π，
∴．
当k=2n（n∈Z）时，x1﹣x2=nπ，此时x1﹣x2是π的整数倍；
当k=2n+1，（n∈Z）时，=，此时x1﹣x2不是π的整数倍；
故①不正确；
②由y=2cos2x的图象向右平移个单位得到y==2=≠，故②不正确；
③==0≠±2，故y=f（x）的图象关于直线不对称，∴③不正确；
④∵，∴，∴函数f（x）=在区间上是减函数，∴④正确．
综上可知：假命题是①②③．
故答案为①②③．
点评： 正确理解函数y=Asin（ωx+φ）的对称性、单调性和平移变换等性质是解题的关键．
[来源:学科网ZXXK]
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的值组成的集合．

考点： 集合的包含关系判断及应用． [来源:Z,xx,k.Com]
分析： 条件A∪B=A的理解在于：B是A的子集，其中B也可能是空集．
解答： 解：A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，
∵A∪B=A，∴B⊆A．
①m=0时，B=∅，B⊆A；
②m≠0时，由mx+1=0，得x=﹣．
∵B⊆A，∴﹣∈A，
∴﹣=2或﹣=3，得m=﹣或﹣．
所以适合题意的m的集合为{0，﹣，﹣}．
点评： 本题主要考查集合的运算性质A∪B=A，一般A∪B=A转化成B⊆A来解决．若是A∩B=A，一般A∩B=A转化成A⊆B来解决．

18．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．
（Ⅰ）若x=，求向量，的夹角；
（Ⅱ）求函数f（x）=2•+1的最值以及相应的x值的集合．

考点： 数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）把x=代入可得向量=（，），由向量的夹角公式可得；
（Ⅱ）由三角函数公式f（x）=sin（2x﹣）+2，由三角函数的最值可得．
解答： 解：（Ⅰ）当x=时，向量=（sin，cos）=（，），
又∵=（﹣1，0），∴=﹣，||=||=1
∴cos＜，＞==﹣
∴向量，的夹角为；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（Ⅱ）由题意可得函数f（x）=2•+1
=2sin2x+2sinxcosx+1
=1﹣cos2x+sin2x+1
=sin（2x﹣）+2，
∴当2x﹣=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z时，
函数f（x）取最大值，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}；
当2x﹣=2kπ﹣，即x=kπ﹣，k∈Z时，[来源:Z*xx*k.Com]
函数f（x）取最大值﹣，此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}
点评： 本题考查平面向量的数量积，涉及向量的夹角和三角函数的运算，属基础题．

19．（12分）已知等比数列{an}中，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项的和Sn．

考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用等比数列的通项公式，建立方程组，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，即可求数列的前n项的和．
解答： 解：（Ⅰ）∵a1+a3=10，a4+a6=80，
∴，∴q=2，…（4分）
又，∴a1=2
∴…（7分）
（Ⅱ）①
∴②
①﹣②得﹣
==2﹣8+2•2n+1﹣（2n﹣1）2n+1=﹣6﹣（2n﹣3）2n+1∴Sn=（2n﹣3）2n+1+6…（14分）
点评： 本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．

20．（12分）已知函数f （x）=4sin2（+x）﹣2cos2x﹣1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及最小值；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）问f （x）的图象经过怎样的变换才能得到y=﹣4sinx的图象？

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 首先将解析式化简变形为y=，然后求周期及最值、单调区间，以及变换方式．
解答： 解：由f （x）=4sin2（+x）﹣2cos2x﹣1
=
=
=
=
（1）
（2）由，
解得，
∴
∴函数f（x）的单调减区间为；
（3）将y=向左平移个单位得到y=4sin2x+1，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y=4sinx+1，继续向下平移1个单位，得到y=4sinx图象，最后将图象作关于x轴的对称图象，得到y=﹣4sinx图象．
点评： 本题考查了三角函数恒等变形、三角函数的性质以及三角函数图象的变换；熟练三角函数倍角公式以及恒等变形的方法是解答的关键，是经常考查的题型．

21．（12分）已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）﹣λf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

考点： 函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： （1）将点的坐标代入函数解析式得到一个方程；利用函数满足的等式得到函数的对称轴，据二次函数的对称轴公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相关点法求出g（x）的解析式．
（2）利用函数在区间上单调，则导函数大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分离参数，转化成求函数的最值
解答： 解：（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=﹣1故
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x2+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则x0=﹣x，y0=﹣y，因为点Q（x0，y0）在y=f（x）的图象上，
∴﹣y=x2﹣2x，
∴y=﹣x2+2x，
∴g（x）=﹣x2+2x．
（2）F（x）=﹣x2+2x﹣λ（x2+2x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x
∵F（x）在（﹣1，1]上是增函数且连续，F'（x）=﹣2（1+λ）x+2（1﹣λ）≥0
即在（﹣1，1]上恒成立，
由在（﹣1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（﹣∞，0]，
点评： 本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．

22．（12分）设函数f（x）=+x，[来源:Z#xx#k.Com]
（1）若当x=﹣1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（3）若a为任意实数，试求出f′（sinx）的最小值g（a）的表达式．

考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法．
专题： 导数的综合应用．[来源:学#科#网]
分析： （1）由f′（x）=2x2+2ax+1，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由f′（x）=2x2+2ax+1，若f（x）存在极值，判别式大于零，由此能求出结果．
（3）由，利用分类讨论思想和导数性质能求出f′（sinx）的最小值g（a）的表达式．
解答： 解：（1）f′（x）=2x2+2ax+1
当x=﹣1时，f（x）取得极值，故
∴f′（x）=2x2﹣3x+1=（x﹣1）（2x﹣1）
令，
故f（x）的单调增区间为
令，
故f（x）的单调减区间为
（2）f′（x）=2x2+2ax+1，
若f（x）存在极值，
则．
∴a的取值范围是（﹣）∪（）．
（3），
（i）若，即a≥2时，g（a）=f（﹣1）=3﹣2a；
（ii）若，即﹣2＜a＜2时，；
（iii）若，即a≤﹣2时，g（a）=f（1）=3+2a
综上．
点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的最小值的表达式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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