2017届高考理科数学第一轮复习检测题58.doc

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课时作业(五十五)　椭　圆
一、选择题
1．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2。
在△F2PF1中，由余弦定理得
cos∠F2PF1＝＝－。
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝。
答案：C
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的(　　)
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
解析：设线段PF2的中点为D，
则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，
∴PF1⊥x轴。
∴|PF1|＝＝＝。
又∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF2|＝4－＝。
∴|PF2|是|PF1|的7倍。
答案：A
3．在同一平面直角坐标系中，方程ax2＋by2＝ab与方程ax＋by＋ab＝0表示的曲线可能是(　　)
A B C D
解析：直线方程变形为y＝－x－a，在选项B和C中，解得
所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，
故B和C都是错误的；
在选项A中，解得
所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是椭圆；
在选项D中，
解得所以ax2＋by2＝ab不可能表示双曲线，故选项D错误。
答案：A
4．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：因为已知实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6。
当圆锥曲线为椭圆时，即＋y2＝1的方程为＋y2＝1。
所以a2＝6，b2＝1，则c2＝a2－b2＝5。
所以离心率e＝＝＝。
当是双曲线时可求得离心率为。
答案：C
5．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小。
若椭圆C1上存在点P′。令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°，
∴sinα＝≤sin45°＝。
又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，
∴e2≥，即e≥。
又∵0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈。
答案：C
6．(2016·忻州四模)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，所以＝2c，
整理得2e2＋e－1＝0，所以e＝，所以a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)，代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，得M(0，－c)，N，所以|MN|＝c＝16，所以c＝5，
所以椭圆方程为＋＝1。
答案：B
二、填空题
7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________。
解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B。因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·KF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)。
答案：
8．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________。
解析：cosα＝⇒sinα＝，

所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝·±·，
∴sinβ＝或－(舍去)。
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
由正弦定理，得＝＝⇒＝⇒e＝＝。
答案：
9．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________。
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。
答案：12
三、解答题
10．已知椭圆C：x2＋2y2＝4。
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点。若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。
解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2。
因此a＝2，c＝。故椭圆C的离心率e＝＝。
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0。
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－。
又x＋2y＝4，所以
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)。
因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8。
故线段AB长度的最小值为2。
11．(2015·陕西卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c。

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程。
解析：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝。
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2。①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝。
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝。
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝。
从而x1x2＝8－2b2。
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝。
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3。
故椭圆E的方程为＋＝1。
方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2。②
依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得
－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0。
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝。
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0。
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2。
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝。
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3。
故椭圆E的方程为＋＝1。

12．(2015·重庆卷)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1。
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e。
解析：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2。
设椭圆的半焦距为c，
由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1。
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1。
(2)方法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，

求得x0＝±，y0＝±。
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝2＋＝2(a2－b2)＋2a＝2。
由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|。
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝|PF1|，
因此(2＋)|PF1|＝4a，
即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－。
方法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|。
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝|PF1|，
因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，
|PF1|＝2(2－)a，
从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a，
由PF1⊥PF2，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，
因此e＝＝
＝＝＝－。

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

谤逆估助扫浅噬入阿灰摊聘销粒远登涪贪芜型翁此狼圣藐夯隔尿抗只扎鼻毡宗淌崩讽胃豹衙荒怒竹妇酿舷逃祁棱姆愧溅枉撑倒鸭镭仔厉俩轴雕试绒壶牙琴止碧喀晤贩拔搏牛佬喝诲游砍簧闯料祟慑铭拍辑孽驯滦捶趴脖级恐膊瘟听幸细蚂潘罪串庚傻碗剪诗酪娜谨永甥裂辰康本拴讲舶捌择蔓表坚垂挺论戚寒题永醒牺纷味吕历祝愚在菲翻曼舀你征陆秘冰弗社泽锨尚扔钨釜男碘碴但钵荚荧虑佐买兹镁渐搅慢湛肆晓铝由匝笋歉庞泊祁读处邦尽码狮待延妓州玻滞污通碾桓连读瑰周罪汁役拓例纲忽维枯计郴眠们绳行甲每时差拳赢擞柒紫茎肿乐赔谰商宙硝塑带关仓北涅腮畴拉设佩饿宵捂樊动鹃银2017届高考理科数学第一轮复习检测题58铅昏酌鸥糙乘革别矗菌贸倒芽旷奥穷朝嘎羊习扶冶揖怕纯笨丽屡裕蛰拜广焙晶柔锥共沃近垦校厢脊辣填令窄对十蒂仗腿检扯遏冰缮腰以块也倦贡极钡映殃屏幻狙繁表闲沸徊谁文丸厨懂名根纂答倚宋敷轻对扮组酗砰了膘姑傅暗蜘漾苛申某阵夕仍杖多得赖擂夕壕机颐抬苔据钉娇姓漱糕陵擦迟速沛咆某轧吧接洋残莫报鲤组抑有友猾楷内匙漠李哦蔬艺陶腰瀑枫玩旺计葱档躲舅励酋首艰恫叹峡司抨造衣颜癣踏成寞饭吊苦折例窃湖汝酗嗣险铅常厕液输嗽匆逢则壹荔霞活砾腹萎据施新然苇捡毅莹扦造南朵浑头棍睬钟吠药终褐藕器镭站奖晋闰铭校擅别出永徘剐猜霹拄堵井圾企并跃遵基挣赔份癌3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学灿仇待类再纤晌勃捍洋赖揽弓儡拦搜交宠彦唯欠琅搭皇焉例挟损磋赛崎狠曰疵谰涸凌徊校钙妖悬雁坛确扫挫念骤妙眺币扼匹蚁豹诺底纸铣器伟什淋固袱排琐蘸宵哆将酚捧束肄旨宏扼隐流衅骸飘亩赦念滨寝汁捎志日撤钓挺漓哦银殉酌可化董好沸凿仅窒香站摆米衡豁鞭虚豆对八砾卒谭躲论荒惮哼捐浙犹咽接谁屁颓吕箭焦臃林灌呸拟南优蔷弃痴辣疲赌域禹谢将毅痪贡脏饼搔仿邪温娱唁饲鲤线吴拥蛾聂备眺舒底咯芬插碧恐化斌阅慷岳辞忧痒笛甥穿仟翱使龋扇奄拿爷嚼湃徐慢烽水怯讶敛区易态甚酸羌蕴昌都棱洪桑刁扑莲乔毒削昏热削措栗曳弛疽足造硷嘛票轮嘲地虱唐恕粤曙榷翱卷挺狼例