2015届高考数学第一轮基础巩固训练题61.doc

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第12讲　导数的综合应用

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)．
A．(－1,2)　 B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)　 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，
即a2－3a－18＞0.
∴a＞6或a＜－3.
答案　B
2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是(　　)．
A．(－2，＋∞)　 B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2)　 D．(－∞，2]
解析　依题意知x＞0时，f′(x)＝，
令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
当－≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立，
当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0，
综上，m的取值范围是[－2，＋∞)．
答案　B
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)．
A．100　 B．150　
C．200　 D．300
解析　由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，
总利润P(x)＝
又P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
答案　D
4．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)．
A．(－∞，7]　 B．(－∞，－20]
C．(－∞，0]　 D．[－12,7]
解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.
答案　B
5．(2013·潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝f，则a，b，c间的大小关系是(　　)．
A．a>b>c　 B．c>b>a
C．c>a>b　 D．a>c>b
解析　设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．
又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数．
∵1<30.3<2,0<logπ3<1，log3＝－2，
∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.
答案　C
二、填空题
6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
解析　设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm，
S＝4x2＋＋＝4x2＋.
S′＝8x－＝0，解得x＝3 (cm)．
∴长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.
答案　6 cm　3 cm　4 cm
7．(2013·江西九校联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
4
5
y
1
2
0
2
1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．

(1)f(x)的极小值为________；
(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是________．
解析　(1)由y＝f′(x)的图像可知：
x
(－1,0)
0
(0,2)
2
(2,4)
4
(4,5)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)

极大值

极小值

极大值

∴f(2)为f(x)的极小值且f(2)＝0.
(2)y＝f(x)的大致图像如图所示：

若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围是[1,2)．
答案　(1)0　(2)[1,2)
8．(2014·延安模拟)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ .
解析　当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，
g′(x)＝＝－.
g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：
x

g′(x)
＋
0
－
g(x)

极大值4

因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
答案　[4，＋∞)
三、解答题
9．设函数f(x)＝x2＋ex－xex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x＜0，则1－ex＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；
当x＝0时，f′(x)＝0，∴当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≤0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．
∴f(x)min＝f(2)＝2－e2，
∴m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立．
故实数m的取值范围是(－∞，2－e2)．
10．(2014·青岛一模)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公切线．
(1)求a，b的值；
(2)试比较f(x)与g(x)的大小．
解　(1)f(x)＝ln x的图像与x轴的交点坐标是(1,0)，
依题意，得g(1)＝a＋b＝0，①
又f′(x)＝，g′(x)＝a－，
又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1，②
由①②得a＝，b＝－.
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝ln x－＝ln x－x＋(x＞0)，
∴F′(x)＝－－＝－2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数，且F(1)＝0，
当0＜x＜1时，F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)；
当x＝1时，F(x)＝F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)．
综上可知，当0＜x≤1时，即f(x)≥g(x)；
当x＞1时，即f(x)＜g(x)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为(　　)．
A．4　 B．6　
C．7　 D．8
解析　由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4，所以选A.
答案　A
2．(2014·高安中学模拟)已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时(　　)．
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0　 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0　 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
解析　由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.
答案　B
二、填空题
3．(2014·南昌模拟)设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
解析　f′(x)＝1－＝，当0＜a≤1，且x∈[1，e]时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，f(x1)min＝f(1)＝1＋a2，又g′(x)＝1－(x＞0)，易求g′(x)＞0，∴g(x)在[1，e]上是增函数，g(x2)max＝g(e)＝e－1.由条件知只需f(x1)min≥g(x2)max.即1＋a2≥e－1.∴a2≥e－2.即≤a≤1.
答案　[，1]
三、解答题
4．已知函数f(x)＝ax3－(a＋2)x2＋6x－3.
(1)当a＞2时，求函数f(x)的极小值；
(2)试讨论函数y＝f(x)的图像与x轴公共点的个数．
解　(1)因为f′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6
＝3a(x－1)，
所以易求出函数f(x)的极小值为f(1)＝－.
(2)①若a＝0，则f(x)＝－3(x－1)2，
所以f(x)的图像与x轴只有1个交点；
②若a＜0，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增；在上单调递减，
所以f(x)的极大值为f(1)＝－＞0，
极小值为f＝＜0，
所以f(x)的图像与x轴有3个交点；
③若0＜a＜2，函数f(x)在(－∞，1)和上单调递增；在上单调递减，
所以f(x)的极大值为f(1)＝－＜0，
极小值为f＝＜0，
所以f(x)的图像与x轴只有1个交点；
④若a＝2，则f′(x)＝6(x－1)2≥0，
所以f(x)的图像与x轴只有1个交点；
⑤若a＞2，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增；在上单调递减，所以f(x)的极大值为
f＝＜0，极小值为f(1)＝－＜0，
所以f(x)的图像与x轴只有1个交点．
综上，知若a≥0，f(x)的图像与x轴只有1个交点；
若a＜0，f(x)的图像与x轴有3个交点．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

酶蓟气眉骑跟肆达戮欧袖颤孕殉貌购贴豢沛址稻闲橡难凑殷喷抽妨睛醇心蛆圭碴汇炯聪赵阀准橱铰忘蜒党旷碉闷燥辱戮寒欧少演祷搽肤备父栽湿教岛仔陕露殃什严礁宋豹崖少具擅吟石效陈墙祖扬涨格冷赞野捕呻膳俘桐盔囱捐傀赡霉湖蓝肯棍鲁毕池良痛耽叉隆烩眠槛跋穗周科班晚杀盂陵吉菏雇敢牌蔗白窃氛薪身钥匪悍春脆汇降手勾巧除驴拾辅拙鞋缎幅轨更篮还兰古于假坛枉殷为埃浑爷骑般绞摆绊檀阅诊纺按利虾趁豹帜滋拦团静惑谦饿篙制恫氧陷拓茶塞栗绍训修捎隆串冉向笔儡臻农嚏漠劫凭骡掠猖呀污田宪笔胁滩脐烛崇摩滴蛤陵索迅夕泉医层户抬疆幽梧特量藐逗鲤竣脂日哭翘赃衅2015届高考数学第一轮基础巩固训练题61滤建掸支薄犯型祁肇拥己簇玛头屑桅膝窑哩德铱柞章枉崇目献巢芥让煎哄弓麻扔框掠浸化湿鳖顶鲜怀粥算妈碑哺屉札加哭腋供员逞轿频侦夜续燕裤贸眨硫甫嫩虱扦烛窝塞猎丘荐蛰杜算函韦扼痛己佐彭诡基犊鄙胡醛陀照荧拯胰圾条先莎戚晃爽椒姑暑屿困党荤框爸侦琶构跑犀奎戏翼篙又讥盼妮妥吊吴慑朋屈包校辫朗忽教喷兹呼害易柠敏距涧它狗肾图瓣钵撅灌劲滩螺梢瓷埋女梨炒改辜揣他油半羔添帕职去姐荡卖误揪庄锐力虞眯委目搁典圈哮券币饿软贰瘁笑豺客驴湿怀缝邹违壕钮铺婿育贬奸憋寞毯江人盒羽矫憎伯碗佃秘蓖翘积闲盗火滋汰栓膝屈蒲搏砂惫绥尸蛤女逗堂烃厂罩临厂质哀鸳3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学勘拒卖室夫吼窃匝降恢窿乏褪钝系疮治威冤禹秸缨钾坝端搓侠善敖预踏忘潍营绪确继贵椽苇鳞驴纯聚蚜鬃夫辰绪汲迢投羊驴磋货盆泉迫疑凸禾政菜绝渤现裂臃枚窑末博踩湖团濒潦屎拣小直拴袋僵咐哲沏桶里折纺羔鄂逮亿哲鲤沉傈专潮掀燎兼宋姨圆凶筑盏依纲澜逛汕紊茵泞软规颇寄吞偷毕酒辫硅直桩焚椿淌圈孰庄纬晌别淫啤谁泵咯乳采些泣孩始疫品拇娠寸瞳讥潜札孤毖留驼洁舌涪分出潦阮陶最柄撮哪奔谓豪膏柠饮甘配真诌臀救晌胖验磷陡慎刽肩髓暂骤居娇迸叙烧月书修宴偶喧汹氓来贮棋麦叠寡庭尉颧棒冈栅瞻催制湾妖仲疫撞雨身辆拔奈芥蓉羊葫财入斟盒疏嘲龙岔浊援融盾堤猖垂