2016届高考理科数学考点专题闯关训练33.doc

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专题六　解析几何
真题体验·引领卷
一、选择题
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．8
C．4 D．10
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
5．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A. B.
C. D.
6．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
二、填空题
7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
8．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
9．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
三、解答题
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

11.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．

12．(2015·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．

专题六　解析几何
经典模拟·演练卷
一、选择题
1．(2015·河南名校联考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
2．(2015·西安模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B. C．3 D．2
3．(2015·烟台模拟)等轴双曲线x2－y2＝a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B，P是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是(　　)
A. B. C. D.
4．(2015·济南模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
5．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6．(2015·石家庄质检)已知抛物线y2＝8x与双曲线－y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
二、填空题
7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．
8．(2015·潍坊三模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________．
9．(2015·石家庄质检)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．
三、解答题
10．(2015·哈尔滨调研)椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且短轴长与长轴长的比是.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当
||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

11.(2015·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．

12．(2015·潍坊三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|＝x的交点分别为A，B(A在第四象限)，且·＝.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)定义：以原点O为圆心，为半径的圆称为椭圆＋＝1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O.证明：|PQ|为定值．

专题六　解析几何
专题过关·提升卷
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·长沙调研)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
2．(2015·福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
3．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
4．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，且|＋|＝
|－|(其中O为坐标原点)，则实数a的值为(　　)
A．1或 B．1或－1
C.或－ D．－2或2
5．(2015·广东高考)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．(2015·郑州质检)已知点P(a，b)是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝(　　)
A．100 B．200 C．360 D．400
7．(2015·唐山调研)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.－1
8．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
9．(2015·青岛模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
10．(2015·潍坊模拟)已知抛物线C1：y2＝2x的焦点F是双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|＝，则双曲线C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
11．已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，点F为椭圆C的右焦点，若点Q满足||＝1，且·＝0，则||的最大值(　　)
A. B．6
C. D．35
12．(2015·河北衡水中学冲刺卷)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，M为该双曲线右支上一点，且|MF1|2，|F1F2|2，|MF2|2成等差数列，该点到x轴的距离为，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．5
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)
13．(2015·陕西高考)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
15．(2015·长沙模拟)双曲线x2－＝1的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A，B(不同于O点)，则|AB|＝________．
16．(2015·合肥质检)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

18．(本小题满分12分)(2015·太原模拟)已知动点A在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，动点B在直线x＝－2上，且满足⊥(O为坐标原点)，椭圆C上的点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)判断直线AB与圆x2＋y2＝3的位置关系，并证明你的结论．

19.(本小题满分12分)(2015·兰州模拟)已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F(1，0)为定点，且满足＋＝0，·＝0.
(1)求动点N的轨迹E的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立，请说明理由．

20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

21．(本小题满分12分)(2015·德州模拟)如图，已知椭圆：＋y2＝1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．

(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．

22．(本小题满分12分)(2015·衡水中学冲刺)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为M.点P(m，n)(m>p)在抛物线C上，且△FOP的外接圆圆心到准线l的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线PF与抛物线C交于另一点A，证明：kMP＋kMA为定值；
(3)过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，与y轴分别交于D、E两点，求△PDE面积取得最小值时对应的m值．

专题六　解析几何
真题体验·引领卷
1．D　[设所求的切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，依题意，得＝，则c＝±5.∴所求切线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.]
2．A　[由题设，a2＝2，b2＝1，则c2＝3，
不妨设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，
解之得－<y0<.]
3．C　[易知＝(3，－1)，＝(－3，－9)．
则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，
故过三点A，B，C的圆以AC为直径，其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
令x＝0，得(y＋2)2＝24，解之得y1＝－2－2，y2＝－2＋2.
因此|MN|＝|y1－y2|＝4.]
4．D　[如图，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)．

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°.
在Rt△BMN中，y1＝|MN|＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.
将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，
所以双曲线E的离心率e＝＝＝.]
5．A　[由几何图形知，＝＝.
由抛物线定义，|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，
∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1.
因此＝.]
6．D　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，
所以＝，即2b＝a，①
又抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
由已知，得－＝－，即a2＋b2＝7，②
联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1.]
7.＋y2＝　[由题意知，圆过椭圆的顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点．设圆心为(a，0)，其中a>0.
由4－a＝，解得a＝，则半径r＝.
所以该圆的标准方程为＋y2＝.]
8.　[不妨设F(－c，0)，虚轴的一个端点为B(0，b)．
依题意，点B恰为线段PF的中点，则P(c，2b)，
将P(c，2b)代入双曲线方程，得＝5，因此e＝.]
9.　[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0.
又直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，
所以两平行线间的距离d＝＝，
由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立．
所以c≤，故c的最大值为.]
10．(1)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)解　四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP，
由得x＝，即xP＝.
将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
11．解　(1)当k＝0时，联立可得，
M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝.
故y＝在x＝2处的导数值为，
因此曲线C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
又曲线y＝在x＝－2处的导数值为－.
所以曲线C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋＝
＝
＝.
∴b＝－a时，有k1＋k2＝0.
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
12．解　(1)由于椭圆的离心率e＝，且a2＝b2＋c2，
∴a2＝3c2，且b2＝2c2，
设直线FM的斜率为k(k>0)，且焦点F(－c，0)．
则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有＋＝，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，
解之得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，则点M的坐标为.
由|FM|＝＝.
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝>，
解得－<x<－1，或－1<x<0.
设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)<0.
因此m>0，于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0.
因此m<0，于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
经典模拟·演练卷
1．A　[易知点A(1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB垂直．∴kAB＝－＝－2.所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]
2．C　[如图所示，过点Q作直线l的垂线，垂足为E.

由＝4，得＝4.
所以＝.
由抛物线C：y2＝8x知|AF|＝p＝4，
∴|EQ|＝3，
根据抛物线定义，|FQ|＝|EQ|＝3.]
3．A　[由β＝2α，得∠APB＝α，
则|PB|＝|AB|＝2a，设P(x，y)．
∴x＝a＋2acos β，y＝2asin β，则P(a＋2acos β，2asin β)，
代入双曲线方程(a＋2acos β)2－(2asin β)2＝a2，cos 2β＋cos β＝0.
∴2cos2β＋cos β－1＝0，则cos β＝，cos β＝－1(舍去)，故β＝.]
4．B　[由∠APB＝90°，知点P在以线段AB为直径的圆上，设该圆的圆心为O，则O(0，0)，半径r＝m，
由圆的几何性质，当圆C与圆O相内切时，圆的半径取得最大值．
∴|OC|＝＝m－1，∴m＝6.
故m的最大值为6.]
5．B　[设椭圆C的右焦点为F′，连接PF′.
在△PFF′中，|OP|＝|OF|＝|OF′|＝2，知∠FPF′＝90°.
又|PF|＝4，
∴|PF′|2＝|FF′|2－|PF|2＝(4)2－42＝64，则|PF′|＝8，
因此2a＝|PF|＋|PF′|＝12，a＝6.
由c＝2，得b2＝a2－c2＝36－20＝16，
故椭圆C的方程为＋＝1.]
6．A　[依题意，不妨设点M在第一象限，且M(x0，y0)，
由抛物线定义，|MF|＝x0＋，得5＝x0＋2.
∴x0＝3，则y＝24，所以M(3，2)，
又点M在双曲线上，
∴－24＝1，则a2＝，a＝，
因此渐近线方程为x2－y2＝0，即5x±3y＝0.]
7．y＝±2x　[由题意知：＝＝1＋＝5，则＝2，所以渐近线的方程为y＝±2x.]
8．(x＋1)2＋y2＝2　[由题设，圆C的圆心C(－1，0)，设半径为r，
又圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，
∴|CC′|＝2＋r.
又|CC′|＝＝3，则r＝，
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.]
9．y2＝16x　[由抛物线C：y2＝2px(p>0)，
知焦点F，准线x＝－，
设满足条件的圆心为C′，圆的半径为r.
由πr2＝36π，得r＝6.
又圆C′与抛物线的准线x＝－相切，
∴＋＝6，∴p＝8.故抛物线方程为y2＝16x.]
10．解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由焦点F(－2，0)知c＝2.
∴a2＝4＋b2，①
又＝，②
联立①，②得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1.
故－4≤x≤4.
由点M(m，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m≤4.①
由＝(x－m，y)，
所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12
＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.
∵当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点．
∴当x＝4时，||2取得最小值．
由于x∈[－4，4]，故4m≥4，则m≥1，②
由①，②知，实数m的取值范围是[1，4]．
11．解　(1)∵动圆过点且与直线x＝－相切，
∴动圆的圆心到定点的距离等于到定直线x＝－的距离．
根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y2＝2x.
(2)设点P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，
则直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，
又△PBC的内切圆方程为(x－1)2＋y2＝1，
∴圆心(1，0)到直线PB的距离为1.
则＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，
同理，得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，
因此，b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，
所以b＋c＝，bc＝.
依题意，得bc<0，即x0>2.
则(b－c)2＝，
因为y＝2x0，所以|b－c|＝.
因此△PBC的面积S＝|b－c||x0|＝
＝x0＋2＋＝(x0－2)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当x0－2＝2，即x0＝4时上式等号成立．
故△PBC面积的最小值为8.
12．(1)解　由椭圆的对称性，知点A、B关于x轴对称．
依题意，设点A(x，－x)，B(x，x)，则＝(0，2x)．
由·＝(x，x)·(0，2x)＝，且x>0.
∴2x2＝，x＝，因此B，
代入椭圆方程，得＋＝1.①
又e＝＝，
∴＝＝②
联立①，②，得b2＝1，a2＝3.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题意可得“伴随圆”方程为x2＋y2＝4，
①当直线l斜率不存在时，设l：x＝n，代入椭圆方程得M，N，
由·＝0得n＝±，代入x2＋y2＝4得y＝±，
所以|PQ|＝.
②当直线l斜率存在时，设l方程为y＝kx＋m(k，m∈R)且与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，即m2<3k2＋1，
∵x1＋x2＝，x1·x2＝，
可得y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由·＝0得x1·x2＋y1·y2＝0，
即＋＝＝0，
所以m2＝(k2＋1)，代入验证Δ>0成立．
则原点O到直线l的距离d＝＝＝，
∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ|＝2＝，
综合①，②知，|PQ|为定值.
专题过关·提升卷
1．C　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1.圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心为C2(3，4)，半径为r2＝.由于两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2，所以5＝1＋，解之得m＝9.]
2．B　[由双曲线定义，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|＝3，知点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝6.所以|PF2|＝9.]
3．C　[由双曲线性质，A、B项中焦点在x轴上，不合题意．对于选项D，其渐近线方程为y2－＝0，即y＝±.经检验，只有选项C中－x2＝1满足．]
4．B　[∵|＋|＝|－|，
∴以，为邻边作出的平行四边形OACB为矩形，
则⊥，所以△OAB为直角三角形，因此|AB|＝.
于是圆心O到直线x＋y＝a的距离d＝＝，
从而，得＝，∴a＝±1.]
5．B　[因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1.]
6．D　[由x2＝20y知其准线y＝－5.
∴|PF|＝b＋5＝25，则b＝20.
又点(a，b)在抛物线x2＝20y上，∴a2＝400，|a|＝20，
因此|ab|＝|20×20|＝400.]
7．D　[设F(－c，0)，点A(m，n)，依题意，得
解之得A.
代入椭圆方程，有＋＝1.
又b2＝a2－c2代入，得c4－8a2c2＋4a4＝0.
所以e4－8e2＋4＝0，e2＝4－2，e＝－1.]
8．D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心M(－3，2)，半径r＝1.点N(－2，－3)关于y轴的对称点N′(2，－3)．

如图所示，反射光线一定过点N′(2，－3)且斜率存在，
∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－(2k＋3)＝0.
∵反射光线与已知圆相切，
∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.]
9．C　[设P(xP，yP)，依题设xP>0，且yP>0.
由S△OFP＝·c·yP＝＝，∴yP＝.
又直线PF的方程为y＝－(x－c)，∴xP＝，
又点P在双曲线的渐近线bx－ay＝0上，
∴·b－＝0，则a＝3b，c＝b，
故双曲线的离心率e＝＝.]
10．D　[由抛物线方程知p＝1，
∴焦点F，则a＝.
设M(xM，yM)，由抛物线定义，|MF|＝xM＋＝，
∴xM＝1，则yM＝±，即M(1，±)，
代入双曲线方程，得b2＝，从而c2＝，
故双曲线c2的离心率e2＝＝.]
11．C　[如图所示，由方程＋＝1知：顶点A(－4，0)，B(4，0)、右焦点F(2，0)．

又||＝1，
∴点Q的轨迹是以焦点F(2，0)为圆心，以1为半径的圆．
由||·||＝0，知PQ⊥FQ.
因此直线PQ是圆F的切线，且Q为切点，
∴|PQ|2＝|PF|2－1，当|PF|最长时，|PQ|取最大值．
当点P与椭圆的左顶点A重合时，|PF|有最大值|AF|＝6.
所以||的最大值为＝.]
12．A　[依题意，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.
∴△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形．
因此|MF1|·|MF2|＝|F1F2|·＝2c·＝c2.
又|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1||MF2|＝4c2.∴(2a)2＋2c2＝4c2，则c2＝2a2，
故双曲线的离心率e＝＝.]
13．2　[由于x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故＝，则p＝2.]
14．(x－1)2＋y2＝2　[直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P(2，－1)．
∴当P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，且R＝＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]
15．2　[由双曲线x2－＝1，右焦点F(2，0)，
渐近线方程分别为y＝±x，
代入圆F的方程(x－2)2＋y2＝4，得x＝1，y＝±.
故|AB|＝2.]
16．x2＋y2＝1　[设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，
则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，
由|AF1|＝3|F1B|，得＝3，
故即
代入方程＋b2＝1，得b2＝，
故所求椭圆E的方程为x2＋y2＝1.]
17．解　(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b，∴c＝＝b，
因此椭圆E的离心率e＝＝.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝，
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则
x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，
解得k＝，
从而x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.
18．解　(1)由题意得∴a2＝12，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝3相切，证明如下：
由题意可设A(x0，y0)，B(－2，t)(t∈R)，
则直线AB的方程为(y0－t)x－(x0＋2)y＋(tx0＋2y0)＝0，
∵⊥，∴2x0＝ty0，∴t＝，
∵动点A在椭圆C上，∴＋＝1，∴y＝12－4x，
∴原点O到直线AB的距离d＝
＝＝
＝＝＝，
∴直线AB与圆x2＋y2＝3相切．
19．解　(1)设N(x，y)，则由＋＝0得P为MN的中点．
∴P，M(－x，0)．
∴＝，＝.
∴·＝－x＋＝0，即y2＝4x.
∴动点N的轨迹E的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去x得y2－y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.
假设存在点C(m，0)满足条件，则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，
∴·＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2
＝－m＋m2－4
＝－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋m2－3
＝m2－m－3.
∵Δ＝＋12>0，
∴关于m的方程m2－m－3＝0有解．
故在x轴上存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立．
20．解　(1)由点P(0，1)在椭圆上，知b＝1，
又离心率e＝＝且a2＝b2＋c2.解得c2＝1，a2＝2，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1<n<1.
直线PA的方程为y－1＝x.
所以xM＝，即M.
(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．
设N(xN，0)，则xN＝.
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－)．
21．解　(1)依题设得椭圆的顶点A(2，0)，B(0，1)，
则直线AB方程分别为x＋2y－2＝0，
设EF的方程为y＝kx(k>0)．
如题图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，
联立直线l与椭圆的方程
消去y得方程(1＋4k2)x2＝4，则x2＝－x1＝，
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0－2＝0，得x0＝.
所以＝，化简得24k2－25k＋6＝0，
解之得k＝或k＝.
(2)根据点到直线的距离公式知，点A，B到EF的距离分别为
h1＝，h2＝.
又|EF|＝4，
所以四边形AEBF的面积为
S＝|EF|(h1＋h2)＝
＝2＝2
＝2≤2，
当且仅当4k＝，即当k＝时，取等号．
所以S的最大值为2.
22．(1)解　依题意，焦点F，△FOP的外接圆圆心的横坐标为.
故圆心到准线的距离d＝＋p＝，则p＝2，
所求的抛物线C的方程为y2＝4x，
(2)证明　由(1)知F(1，0)，准线x＝－1，故M(－1，0)．
设直线的方程为x＝ty＋1，联立方程
得y2－4ty－4＝0.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
则kMP＋kMA＝＋
＝＝0(定值)．
(3)解　过P(m，n)在抛物线C上，则n2＝4m，由题意可知，过点P与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线斜率存在．设切线方程为y－n＝k(x－m)，即kx－y－km＋n＝0.
其与y轴交点为(0，n－km)，所以|DE|＝|m(k1－k2)|.
又直线与圆相切得d＝r⇒＝1，
整理得(m2－2m)k2－2(m－1)nk＋n2－1＝0，