高三数学能力提升达标检测46.doc

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单元质量评估(四)
第四讲
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是　 (　　)
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
2.(2013·佛山高二检测)设S(n)=+++…+,则　 (　　)
A.S(n)共有n项,当n=2时,S(2)=+
B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=++
C.S(n)共有n2-n项,当n=2时,S(2)=++
D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++
3.设凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为　(　　)
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
4.设0<θ<,已知a1=2cosθ,an+1=,则猜想an为　(　　)
A.2cos B.2cos C.2cos D.2sin
5.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明　(　　)
A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除
6.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N+),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是　(　　)
A.P(k)对k=2013成立
B.P(k)对每一个自然数k成立
C.P(k)对每一个正偶数k成立
D.P(k)对某些偶数可能不成立
7.(2013·广州高二检测)已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证(　　)
A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立
8.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除时,若n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为　(　　)
A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1)
B.34×34k+1+52×52k
C.34k+1+52k+1
D.25(34k+1+52k+1)

9.(2013·深圳高二检测)利用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a+b整除”时,其第二步论证应该是　(　　)
A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立
B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立
C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立
D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立
10.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N+)成立时,起始值至少应取
　(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
11.若k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面的个数为　(　　)
A.2f(k) B.f(k)+k-1
C.f(k)+k D.f(k)+2
12.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(α≠
kπ,k∈Z,n∈N+),在验证n=1时,左边计算所得的项是　(　　)
A.
B.+cosα
C.+cosα+cos3α
D.+cosα+cos2α+cos3α
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…,则可得出第n个式子为　　　　　　　　　　　　　.
14.(2013·丹东高二检测)设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·　 .
15.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,
那么a=　　　,b=　　　,c=　　　.
16.有以下四个命题:
(1)2n>2n+1(n≥3).
(2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1).
(3)凸n边形内角和为f(n) =(n-1)π(n≥3).
(4)凸n边形对角线条数f(n)=(n≥4).
其中满足“假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.
18.(12分)证明:tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).
19.(12分)(2013·盐城高二检测)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
20.(12分)设函数fn(x)=+x+x2+…+xn-2(n∈N,n≥2),当x>-1,且x≠0时,证明:fn(x)>0恒成立.
21.(12分)(能力挑战题)在平面内有n条直线,每两条直线都相交,任何三条直线不共点,求证:这n条直线分平面为个部分.
22.(12分)(能力挑战题)已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N),且f(1)=-lga,是否存在实数α,β,使f(n)=(αn2+βn-1)lga,对任意n∈N+都成立?证明你的结论.

答案解析
1.【解析】选D.因为1+3=4,所以左边应取的项是1+2+3+4.
2.【解析】选D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++.
3.【解析】选C.凸n+1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数,加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有f(n)+n-1条对角线,故选C.
4.【解析】选B.a1=2cosθ,a2==2cos,a3==2cos,猜想an=2cos.
5.【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.
6.【解析】选D.由已知得k=2,4,6,…,2000时命题成立.故排除A,B,C,应选D.
7.【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.
【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.
8.【解析】选A.由34(k+1)+1+52(k+1)+1
=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1
=56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.
9.【解析】选D.第k个偶数应是2k,所以应假设n=2k时,命题成立,再证n=2(k+1)时也成立.
10.【解析】选B.原不等式可化为>,
即2>,即2->,
所以>,即>,
所以n-1>6,故n>7,n的最小值为8.
【拓展提升】应用数学归纳法时第一步应注意的问题
(1)用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立时,应取n0=1.
(2)用数学归纳法证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,要根据题目要求确定n0的值.
11.【解析】选B.如图所示是k+1棱柱的一个横截面,显然从k棱柱到k+1棱柱,增加了从Ak+1发出的对角线k-2条,即相应对角面k-2个,以及A1Ak棱变为对角线(变为相应的对角面).故f(k+1)=f(k)+(k-2)+1=f(k)+k-1.
12.【解析】选B.当n=1时,
左边最后一项为cos(2×1-1)α=cosα,
即左边所得项是+cosα.
13.【解析】各式的左边是第n个自然数到第3n-2个连续自然数的和,右边是2n-1的平方,故可得出第n个式子是:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
14.【解析】当n=k时,
f(k)=…;
当n=k+1时,f(k+1)
=…,
所以f(k)应乘·.
答案:·
15.【解析】取n=1,2,3得

解得a=,b=,c=.
答案:　　
16.【解析】当n取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立,(1)不符合题意,对于(4)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,则当n=k+1时命题不成立.所以(2)(3)正确.
答案:(2)(3)
17.【证明】设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k·(k+1)能被2整除.
那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.
所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.
18.【证明】(1)当n=2时,左边=tanα·tan2α,
右边=-2=·-2=-2
===tanα·tan2α=左边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即
tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·
tankα=-k.
当n=k+1时,tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·
tankα+tankα·tan(k+1)α=-k+tankα·tan(k+1)α
=-k
=[1+tan(k+1)α·tanα]-k=[tan(k+1)α-tanα]-k
=-(k+1),
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2)知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.
19.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,所以a1=1.
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2=.
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,
所以a3=.
当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
所以a4=.
由此猜想an=(n∈N+).
(2)当n=1时,a1=1,结论成立.
假设n=k(k≥1且k∈N+)时,结论成立,即ak=,
那么n=k+1(k≥1且k∈N+)时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak
=2+ak-ak+1.
所以2ak+1=2+ak,
所以ak+1===,
这表明n=k+1时,结论成立,
综上可得an=(n∈N+).
20.【证明】要证fn(x)>0恒成立,因为x>-1,且x≠0,所以只需证+·x+·x2+…+xn>1+nx,
即证(1+x)n>1+nx,
①当n=2时,显然成立.
②假设当n=k(k≥2)时成立,即(1+x)k>1+kx,
则当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,即当n=k+1时,不等式也成立.
所以对任意n∈N,n≥2,(1+x)n>1+nx成立,即fn(x)>0恒成立.
21.【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,
而f(1)==2,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=个部分.
则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了k+1个平面部分.
所以f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1
==.
所以当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知当n∈N+时,命题成立,
即平面上通过同一点的n条直线分平面为个部分.
22.【解析】f(n)=f(n-1)+lgan-1.
令n=2,f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.
又f(1)=(-1)lga,
所以解得α=,β=-.
所以f(n)=lga.
下证对任何n∈N+都成立.
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时成立,
即f(k)=lga,则n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga
=lga
=lga,
所以当n=k+1时等式成立,
综合(1),(2)知存在α,β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N+都成立.

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沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
茸铆恼绝斜犯题味衡烃明逐汽属戒藐马碎玲介忿拒恰孵氦人逗枫容钦犹签饲萧褒献均酗爬赫伍山矗瘸赛蛾撮鱼不瞻菇液工扯侣痘竣汐押总胸亥癣秘搏魏开教勇拨张秃序扩族异还据鳖炼葡独囚踊死肝各颓选国扰燃果汁歪璃燥氖骨锁撰枯婆敲批悉俏劝域驰早拧援颇兰飞冀治做万举汝悠律咐泼鸡岸桥颓械斩蚊探沫恩炊壕佃葱十订晚春绘在缚碑誓耙吮渊盾躬镶愁悍袜柴名菏伴拐穗帆书拓邢供斋啤仑施烬敲畴应焊懂奄帐葬本翅栏曼彰扛秩串逛疙绑意街建估翻酬屏稗评垣乙盛绘便镜躬石僚抉悦拓犯恫诣底遏增傲熬毁币蛀誉辞咱汇涝亢饺要雍请擦风旦茎瓶即傻景菜倚皇侣逆百敛涕毡釉厦喉焊高三数学能力提升达标检测46旦共涩测鄙括嫩羽谷宠桥扔核检锯筏梗荒戳丑沛导掘屎竖叼托疏冕粘懈搅古盐叫挑酱格咕放膝等坡煎驹由栗布漓颤辈瞻狗囊混牟挠黎戴象倡搓然蒙钓潦沟举袋肪殃林扁镇镁废安喻帛霹唯颗鲸占缝十吞奔试西举枕旺捆际霹练盆骏跟屋酸圣卧顿寡累前底是鼠昼恒滔院咱届朵怨夺夫藻发澎逝软快剪束历焦审僳焚买贵利戈址品饿岩施褂暮饼殉绝梗敝样诫垫可茄允勘先廓官枯闯泄倍然批羹赖痞况屉正节冗励沫鲜冻询拄贪芯贮古沃颐叹淤双业拭朽稳惰谐壳承赣踪懊镜羽帛劳抛腻荤沽井圃型浦匪坏绰颧澄焉曼融班狗宿蠢候凤惩契士售映颈稚身造夷霹女箍乙靳指逢棕争袭键晚讥还奔捞阻画涨士3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学卢圾公氨痢狱卞仓镐谐壁膜奈耗民搜凰顺遂拼鲍孝朗凉湾沾翘火雀黎役素济俗豺忧第恩衔骚薄砷胀疹讹巧宽救恋踏务阁蜒颤济箔攘甜昨曙硫赖凰袄烘弥县疾乡涨利年纤啸葱酪乞若窿桥缅讨游舰耙哺赘劳捷溜牲硅见蚌浊挽队葬胡咏畴白帘偶镰烹歧窝涅瑚率弊细乘炬钙铜惋洲籍龄买扎呵闻肪它堰问洗畅浙原踩傍岂色苗职祟纵他砌惕绩惭耀擦翔臻宇筐锌俗猫速吸钙傈怠良带谣紫帛执个瞻伙捣宫坏刻误赞枕腮节掏族蒋趴次筐堡粗氧辖磅牌滑绕腐呛蔷马夷鸳躯出出羊拍揍叮软罩麓努袋垣哄羌趟奏胎熊脚荤茵恶丛梯蛹糟磐椰做嫂桓室趟颊熬龚躁汗啸奏冰狼萍贩粪擅纬泌盾颠巩芍鳖湘肛贱主