巧用面积法妙解几何题省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

巧用面积法 妙解几何题人教版八年级数学人教版八年级数学 上册上册 映山中学 严正霞第1页何谓面积法在求解平面几何问题时候，依据相关几何量与包括相关图形面积之间内在联络，用面积或面积之间关系表示相关线段间关系，从而把要论证线段之间关系转化为面积关系，并经过图形面积等积变换对所论问题来进行求解方法，称之为面积法。抓住面积不但能把平面几何知识变得更轻易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。第2页温故知新填空：填空：1.若ABCDEF，且ABC面积为25，则DEF面积为 。2.已知AD为ABC中线，则S ABD与S ACD大小关系为 。3.(1)平行四边形ABCD一条对角线AC把它分成两个三角形ABC、ADC，则S ABC与S ADC大小关系为 。(2)平行四边形ABCD边AD上有一点E，连结EB、EC，则S EBC与S平行四边形ABCD关系为 。4.已知直线a b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、BM、BN，则S AMN 与S BMN大小关系为 。25SABD=SACDSABC=SADCSABD=1/2S平行四边形ABCDSAMN=SBMN第3页用面积法解几何问题惯用到以下性质：全等三角形面积相等；三角形中线把三角形分成面积相等两部分；平行四边形对角线把其分成面积相等两部分；三角形面积等于同底（或等底）等高平行四边形面积二分之一；同底（或等底）等高三角形面积相等。第4页例题讲解证线段相等例1.已知：ABC中，A为锐角，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，求证：BD=CE.ABCDE分析：此题利用三角形全等能够处理，但考虑到有“高”，不妨用面积法来试试，可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD来完成。证实：证实：ABC中，中，BDAC于于D，CEAB于于E S ABC=1/2ABCE=1/2ACBD又又AB=ACBD=CE用面积法好简单哟！第5页变式训练1.已知：等腰ABC中，AB=AC，D为底边BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.ABCDFE分析：此题用三角形全等可完成，但题中出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接AD，则SABD=SACD，由AB=AC，可得DE=DF.第6页2.平行四边形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，求证：BE=DF变式训练ABCDEF分析：此题能够用平行四边形和全等三角形知识处理，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，依据S平行四边形ABCD=2S ABC=2SADC可得证。第7页证线段和差关系例2.（1）已知：ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：PD+PE=BF.ABCPFED分析：此题可结构矩形来证实，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接AP，依据SABC=SABP+SACP，结合AB=AC，可得证。证实：证实：BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD，SACP=1/2ACPE S ABC=S ABP+SACP1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPEAB=AC PD+PE=BF第8页（2）若P为 ABC底边BC延长线上一点，其它条件不变，则（1）中结论依然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并证实。ABCPFDE分析：即使题目条件发生了改变，但思绪不变，方法不变，还是用面积法。连接AP，依据SABC=SABP-SACP，结合AB=AC，可得到正确结论:PD-PE=BF。证实：证实：BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD，SACP=1/2ACPE S ABC=S ABPSACP1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPEAB=AC PDPE=BF第9页3.（1）已知等边ABC内有一点P，PDAB，PEBC，PFCA，垂足分别为D、E、F，又AH为ABC高，求证：PD+PE+PF=AH.变式训练AHEFDBCP分析：考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”，可尝试面积法。连结PA、PB、PC，依据SABC=SABP+SBCP+SACP，由AB=BC=AC，可得证PD+PE+PF=AH第10页（2）若P是等边ABC外部一点，其它条件不变，（1）中结论依然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并说明理由。ABCFDEHP分析：此题条件即使发生了改变，不过思绪、方法不变，还是应用面积法。连结PA、PB、PC，依据SABC=SABP+SACPSBCP，由AB=BC=AC，可得正确结论：PD+PFPE=AH第11页证角相等例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE，连接BD、AE交于O点，再连接OC，求证：AOC=BOC.ABCDEO分析：要证AOC=BOC，可证点C到AO、BO距离相等，如此就要过C点作CPAE于P，CQBD于Q，证CP=CQ，可考虑面积法，证ACEDCB,则有 SACE=SDCB 且AE=BD，可得CP=CQ。PQ证实：过点证实：过点C作作CP AE于于P，CQ BD于于Q，ACD、BCE是等边三角形是等边三角形 AC=DC，EC=BC，ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACEDCB S ACE=S DCB，AE=BD CP=CQ OC平分平分AOB，即即AOC=BOC.第12页变式训练4.在平行四边形ABCD两边AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，且AF与CE交于点P，连接BP，求证：BP平分APC分析：要证BP平分APC，可证点B到AP、CP距离相等，故过B作BGAF于G，BHCE于H，连接BF、BE。因为AF=CE，只要SABF=SBCE即可，而SABF=SBCE=1/2S平行四边形ABCD，所以BG=BH，命题得证。ABCDFEGH第13页课堂小结面积法是平面几何中论证线段关系一个较简单数学方法；使用面积法前提是：题中要有“垂线段”，若没有“垂线段”，则要结合角平分线性质或判定结构“垂线段”；使用面积法解题关键在于：抓住图形之间面积关系，进而利用面积公式转化为线段关系。要记住哟！要记住哟！第14页课后练习1.RtABC中，BAC=90，AB=3，M为边BC上一点，连接AM，若将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC中点B处，那么点M到AC距离是 。2.ABC中，AB=AC，A=120，BC=6，PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF=。ABCMB第1题CPBAEF第2题第15页3.ABC中，ABAC，BD和CE分别为AC、AB上高，求证：BDCE.4.以ABC边AB、AC为边长，在BC同侧作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FH，过点A作ADBC于D，延长DA交FH于点M，求证：FM=HM.ABCDE第3题ABCEFGHMD第4题第16页5.设E是ABC角平分线AD上一点，连接EB、EC，过C作CFBE交AB延长线于F，过B作BGEC交AC延长线于G，求证：BF=CG.（提醒：SBEF=SBEC=SCEG）AFGBCDE第5题第17页6.在ABC中，AD是BAC平分线，求证：ABAC=BDCD.（提醒：ABAC=SABDSACD）7.RtABC中，ACB=90，CDAB于D，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证：1/a2+1/b2=1/h2（提醒：a2+b2=c2）ABCD第6题CABD第7题第18页谢谢 谢！谢！放映结束 感激各位批评指导！让我们共同进步第19页