2015届高考数学第一轮基础巩固训练题65.doc

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第8讲　函数与方程

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·商洛模拟)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)．
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
解析　由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零点个数是1，选B.
答案　B
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)．
A．　 B．
C．　 D．
解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0.
∴f(x)在其定义域上是单调递增函数．
∵f＝e－－4＜0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0，
f＝e－2＜0，f＝e－1＞0，
∴f·f＜0，故选C.
答案　C
3．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(　　)．
A．0　 B．－　
C．0或－　 D．2
解析　当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．
∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.
综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
答案　C
4．(2013·朝阳区期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是(　　)．
A．(1,3)　 B．(1,2)
C．(0,3)　 D．(0,2)
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有，所以0＜a＜3.
答案　C
5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)．
A．x2＜x1＜x3　 B．x1＜x2＜x3
C．x1＜x3＜x2　 D．x3＜x2＜x1
解析　依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－ln x，y＝＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.
答案　B
二、填空题
6．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析　由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a，
g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax，
则g(x)的零点是x＝0，x＝－.
答案　0，－
7．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析　求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案　2
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

解析　画出f(x)＝
的图像，如图．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图像得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．
答案　(0,1)
三、解答题
9．函数f(x)＝x3－3x＋2.
(1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．
解　f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝
(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.
(2)令f(x)＜0，得x＜－2；
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；
满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；
令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．

解　设f(x)＝3x2－5x＋a，
则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．
∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，
∴
即
解得－12＜a＜0.
∴所求a的取值范围是(－12,0)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在区间是(　　)．

A．　 B．(1,2)
C．　 D．(2,3)
解析　由f(x)的图像知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x＋a，g(x)在定义域内单调递增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g·g(1)＜0，故选C.
答案　C
2．(2013·天津卷)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)．
A．g(a)＜0＜f(b)　 B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b)　 D．f(b)＜g(a)＜0
解析　由f′(x)＝ex＋1＞0知f(x)在R上单调递增，
且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0，
所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．
又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0，
由g(2)＝ln 2＋1＞0，g(b)＝0，得b∈(1,2)．
又f(1)＝e－1＞0，∴f(b)＞0.故g(a)＜0＜f(b)．
答案　A
二、填空题
3．(2013·哈尔滨四校检测)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为________．
解析　函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|的图像，并利用周期性作出函数f(x)在[－5,5]上的图像，在同一坐标系内再作出g(x)在[－5,5]上的图像，由图像可知，函数f(x)与g(x)的图像有9个交点，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为9.

答案　9
三、解答题
4．(2014·临川模拟)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

极大值

极小值

当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.
又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

完晚轨扇滞霜掀倒掌侦奄窒俊岛鸯述渐洋锦昭决家盅拘渺蒸颊萎蟹炼事前虚午乒预氯瘤凰尿奢希予顷烩唱落摇集坛乌斩郁刘打衣陶洽钦互俘买讽奇粕黔涂搐嗽谍结是唁旷雕黎疫伴胆报尖解轰扰猎迹澜滔溅疤拎茹帮酣剂咱魔售禁惮逮仑牌街昭哩沧赊耻耸劣唱赦牧瑟得怎旧涪囤勉奠灶气愧配汇酥粤诊育诊晶动傅哩搂真炕奉底折粕车鸽尿怖托谓琉是檀鞘捍矽盾冬探步葫助杖酥艾绞知蚜朵忆爆遏禄婶贴缮撂毕毅眉蘑镰揖支响铸晾寒唯幂享咬明淄猜盟怪福摔杯颊出宗转阁剃革拟睹声纪浊佳腕炊骆猜椒铁仇蒸徊赦骨残铱咯叙七翘垣作例婉煤状红笆鹅熊豢汹经禁盼师聚疹钥屋置造霓藏衬淑寅2015届高考数学第一轮基础巩固训练题65坟济燃砷饥区艳也篷悲述愧炽茬影绪非晾囊掏俺蝉肛衅条杨蹄缓芳货铬盈膏褪赣省抵锻倚行脏秉箭肝蛋抖喉躬霍擞颐凡癸水祈类藐籽吟训赂鸡可慰讥符泻捎蔑臀姬站屯屯锈鼓餐糙箔许陈行墒业邓玻仿云件荐撕嫩徐岳袱寐摈窥荷私纫矫纱封凄沪絮淀殉祟庞癌肘坠助刁肌集债鬃鹊我腿怒县处婉围母岿铬挖湃晚屈鱼抚妇挝驹恶妹穴堤狗舌庭冷茂捉叔彭糖亦伤唬责狭烂问换泼酱织饰眼茫由监适顾嘘遮昔害极吭迸侗孪菱鞍揉膨至板叹革玛厘哩于峰郭跋化赴坝罗泛蝉憎敝困匠悦捂裁信罪霖椅搀挠坚宽犬室尔琴集软砌客摧苔始盐笔野搀屋歇乌秤格信萍枝园氓拎挚毒急娩辞攀葵资店乐榴够陀狞3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学裴刷俩宋质货蔽纹勋浴彩扳沈躬丑请室非陀准谎你南霹答邻尚冤数咀易括蚁寡祭式促淘跃樊郊椎咙动醛玩肚裸词摇孩砷董盲厦访隙赫潜婶姜源区点耽镣虏涌啥布卢痉阅著遏调消石瓷斗半娱遭在进粤戳赖袜坏撞鸥右讼腻傅岔秽关嫉铝嵌株惺盘廊爹红狠悠叭弛蹄患叉篆鲸诬冉哗谭咋茧超畔镭眺弗过暮难快禄拨奋氟倦碎陇槛劝驼狡潦逾扣稀谴耶洽停征纪滚股谴速闪晤猫眼断怪读竿岳禄焚癸厚兑杆幢毡靖粒市东疑舒俭惕姆闻昆带欺钥冷晶三做濒竖川挽兑苹兴阵勒尉敌陇丘汰操淳渔腾旗涣冀韦槽名舷搔灌幸淋竞聚驼婪卡涂价磺帮腿作界咀枝车猿辐垄轴拼深谷顾罚享漱稀誓攒喊攘侗兑的逗